Номер 8.15, страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§8. Тригонометрические функции углового аргумента. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 8.15, страница 26.

8.15 В $\triangle ABC$ известно, что $AB = 4\sqrt{2}$ см, $\angle A = 45^{\circ}$, $\angle C = 30^{\circ}$. Найдите $BC$, $AC$ и площадь $\triangle ABC$.

В задаче дан треугольник ABC со стороной $AB = 4\sqrt{2}$ см и двумя углами $\angle A = 45^\circ$ и $\angle C = 30^\circ$. Требуется найти длины сторон BC, AC и площадь треугольника.

BC

Для нахождения стороны BC применим теорему синусов, согласно которой отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла является величиной постоянной для данного треугольника: $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$.

В нашем случае это записывается как:

$\frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$

Подставим известные нам значения:

$\frac{BC}{\sin 45^\circ} = \frac{4\sqrt{2}}{\sin 30^\circ}$

Выразим BC из этого уравнения:

$BC = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}$

Так как $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, подставим эти значения в формулу:

$BC = \frac{4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{4 \cdot (\sqrt{2})^2}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{4 \cdot 2}{1} = 8$ см.

Ответ: $BC = 8$ см.

AC

Чтобы найти сторону AC, нам сначала нужно определить величину угла B, который лежит напротив этой стороны. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$, следовательно:

$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ$.

Теперь снова воспользуемся теоремой синусов, чтобы связать сторону AC с известной стороной AB:

$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$

Подставим значения:

$\frac{AC}{\sin 105^\circ} = \frac{4\sqrt{2}}{\sin 30^\circ}$

Выразим AC:

$AC = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sin 105^\circ}{\sin 30^\circ}$

Значение $\sin 105^\circ$ можно вычислить, используя формулу синуса суммы: $\sin(105^\circ) = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ$.

$\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

Подставим все вычисленные значения в выражение для AC:

$AC = \frac{4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{\frac{1}{2}} = 2(\sqrt{12} + 2) = 2(2\sqrt{3} + 2) = 4\sqrt{3} + 4 = 4(\sqrt{3} + 1)$ см.

Ответ: $AC = 4(\sqrt{3} + 1)$ см.

площадь $\triangle ABC$

Площадь треугольника можно вычислить по формуле, использующей две стороны и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$. Для нашего расчета удобнее всего взять стороны AB и AC и угол A между ними, так как $\sin 45^\circ$ имеет простое табличное значение.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)$

Подставим значения:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot (4\sqrt{3} + 4) \cdot \sin 45^\circ$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 4(\sqrt{3} + 1) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Упростим выражение:

$S_{ABC} = \frac{4\sqrt{2} \cdot 4(\sqrt{3} + 1) \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{16 \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot (\sqrt{3} + 1)}{4} = \frac{16 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3} + 1)}{4} = 8(\sqrt{3} + 1)$ см$^2$.

Ответ: $S_{ABC} = 8(\sqrt{3} + 1)$ см$^2$.