Номер 9.2, страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§9. Формулы приведения. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 9.2, страница 26.

9.2 a) $\sin(\pi - t)$;

б) $\cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right)$;

В) $\cos(2\pi + t)$;

г) $\sin\left(\frac{3\pi}{2} - t\right)$.

а) Для упрощения выражения $sin(\pi - t)$ используются формулы приведения. Существует простое мнемоническое правило для их применения:

1. Определение знака. Угол $(\pi - t)$ находится во второй координатной четверти (если считать $t$ малым положительным углом). В этой четверти синус имеет знак «+». Следовательно, у результата будет знак «+».

2. Определение функции. Если в исходном угле есть $\pi$ или $2\pi$ (то есть $k\pi$), то название функции (синус) не меняется. Если же в угле есть $\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$ (то есть $\frac{(2k+1)\pi}{2}$), то функция меняется на кофункцию (синус на косинус, и наоборот).

В данном случае у нас $\pi$, поэтому функция не меняется.

Собирая всё вместе, получаем: $sin(\pi - t) = sin(t)$.

Также можно проверить результат по формуле синуса разности: $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.
$sin(\pi - t) = sin(\pi)cos(t) - cos(\pi)sin(t) = 0 \cdot cos(t) - (-1) \cdot sin(t) = sin(t)$.

Ответ: $sin(t)$

б) Упростим выражение $cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right)$, используя то же правило формул приведения.

1. Определение знака. Угол $\left(\frac{\pi}{2} + t\right)$ находится во второй четверти. В этой четверти косинус имеет знак «–». Значит, у результата будет знак «–».

2. Определение функции. Так как в исходном угле присутствует $\frac{\pi}{2}$, название функции (косинус) меняется на кофункцию (синус).

Объединяя эти два пункта, получаем: $cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = -sin(t)$.

Проверка по формуле косинуса суммы: $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$.
$cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = cos\left(\frac{\pi}{2}\right)cos(t) - sin\left(\frac{\pi}{2}\right)sin(t) = 0 \cdot cos(t) - 1 \cdot sin(t) = -sin(t)$.

Ответ: $-sin(t)$

в) Выражение $cos(2\pi + t)$ упрощается с помощью свойства периодичности функции косинус.

Период функции $y = cos(x)$ равен $2\pi$. Это означает, что $cos(x + 2\pi k) = cos(x)$ для любого целого числа $k$. В нашем случае $k=1$, поэтому мы можем просто отбросить слагаемое $2\pi$ из аргумента функции.

Таким образом, $cos(2\pi + t) = cos(t)$.

Применяя формулы приведения, мы бы получили тот же результат:
1. Знак: Угол $(2\pi + t)$ находится в первой четверти, косинус там положителен («+»).
2. Функция: В угле есть $2\pi$, значит, функция (косинус) не меняется.

Ответ: $cos(t)$

г) Упростим выражение $sin\left(\frac{3\pi}{2} - t\right)$ по правилу формул приведения.

1. Определение знака. Угол $\left(\frac{3\pi}{2} - t\right)$ находится в третьей четверти. В этой четверти синус имеет знак «–».

2. Определение функции. Так как в исходном угле есть $\frac{3\pi}{2}$, название функции (синус) меняется на кофункцию (косинус).

Собирая всё вместе, получаем: $sin\left(\frac{3\pi}{2} - t\right) = -cos(t)$.

Проверка по формуле синуса разности: $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.
$sin\left(\frac{3\pi}{2} - t\right) = sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)cos(t) - cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)sin(t) = (-1) \cdot cos(t) - 0 \cdot sin(t) = -cos(t)$.

Ответ: $-cos(t)$