Номер 9.7, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§9. Формулы приведения. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 9.7, страница 27.

9.7 a) $ \cos 630^\circ - \sin 1470^\circ - \text{ctg } 1125^\circ; $

б) $ \sin (-7\pi) + 2 \cos \frac{31\pi}{3} - \text{tg } \frac{7\pi}{4}; $

в) $ \text{tg } 1800^\circ - \sin 495^\circ + \cos 945^\circ; $

г) $ \cos (-9\pi) + 2 \sin \left(-\frac{49\pi}{6}\right) - \text{ctg } \left(-\frac{21\pi}{4}\right). $

а) $cos(630°) - sin(1470°) - ctg(1125°)$

Для решения этой задачи мы будем использовать свойства периодичности тригонометрических функций. Период для функций синуса и косинуса равен $360°$ ($2\pi$ радиан), а для котангенса — $180°$ ($\pi$ радиан).

1. Упростим $cos(630°)$.
Представим $630°$ в виде $360° + 270°$.
$cos(630°) = cos(360° + 270°) = cos(270°) = 0$.

2. Упростим $sin(1470°)$.
Выделим целое число полных оборотов по $360°$: $1470° = 4 \cdot 360° + 30° = 1440° + 30°$.
$sin(1470°) = sin(4 \cdot 360° + 30°) = sin(30°) = \frac{1}{2}$.

3. Упростим $ctg(1125°)$.
Выделим целое число полуоборотов по $180°$: $1125° = 6 \cdot 180° + 45° = 1080° + 45°$.
$ctg(1125°) = ctg(6 \cdot 180° + 45°) = ctg(45°) = 1$.

4. Подставим полученные значения в исходное выражение:
$0 - \frac{1}{2} - 1 = -1.5$.

Ответ: $-1.5$

б) $sin(-7\pi) + 2cos(\frac{31\pi}{3}) - tg(\frac{7\pi}{4})$

Для решения используем свойства четности/нечетности и периодичности тригонометрических функций.

1. Упростим $sin(-7\pi)$.
Функция синуса является нечетной, то есть $sin(-x) = -sin(x)$.
$sin(-7\pi) = -sin(7\pi)$. Поскольку $7\pi = 6\pi + \pi$, а период синуса $2\pi$, то $sin(7\pi) = sin(\pi) = 0$.
Следовательно, $sin(-7\pi) = 0$.

2. Упростим $2cos(\frac{31\pi}{3})$.
Представим дробь в виде смешанного числа: $\frac{31\pi}{3} = \frac{30\pi + \pi}{3} = 10\pi + \frac{\pi}{3}$.
Период косинуса равен $2\pi$, поэтому $cos(10\pi + \frac{\pi}{3}) = cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
Тогда $2cos(\frac{31\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

3. Упростим $tg(\frac{7\pi}{4})$.
Представим $\frac{7\pi}{4}$ как $2\pi - \frac{\pi}{4}$. Период тангенса равен $\pi$.
$tg(\frac{7\pi}{4}) = tg(2\pi - \frac{\pi}{4}) = tg(-\frac{\pi}{4})$.
Функция тангенса нечетная, $tg(-x) = -tg(x)$.
$tg(-\frac{\pi}{4}) = -tg(\frac{\pi}{4}) = -1$.

4. Подставим все значения в выражение:
$0 + 1 - (-1) = 2$.

Ответ: $2$

в) $tg(1800°) - sin(495°) + cos(945°)$

1. Упростим $tg(1800°)$.
Период тангенса равен $180°$. $1800° = 10 \cdot 180°$.
$tg(1800°) = tg(10 \cdot 180° + 0°) = tg(0°) = 0$.

2. Упростим $sin(495°)$.
Период синуса равен $360°$. $495° = 360° + 135°$.
$sin(495°) = sin(360° + 135°) = sin(135°)$.
Используем формулу приведения: $sin(135°) = sin(180° - 45°) = sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Упростим $cos(945°)$.
Период косинуса равен $360°$. $945° = 2 \cdot 360° + 225° = 720° + 225°$.
$cos(945°) = cos(225°)$.
Используем формулу приведения: $cos(225°) = cos(180° + 45°) = -cos(45°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Подставим значения в выражение:
$0 - \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{2\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$.

Ответ: $-\sqrt{2}$

г) $cos(-9\pi) + 2sin(-\frac{49\pi}{6}) - ctg(-\frac{21\pi}{4})$

Используем свойства четности и нечетности функций: $cos(-x) = cos(x)$, $sin(-x) = -sin(x)$, $ctg(-x) = -ctg(x)$.

$cos(9\pi) - 2sin(\frac{49\pi}{6}) + ctg(\frac{21\pi}{4})$

1. Упростим $cos(9\pi)$.
$9\pi = 8\pi + \pi$. Период косинуса $2\pi$.
$cos(9\pi) = cos(8\pi + \pi) = cos(\pi) = -1$.

2. Упростим $-2sin(\frac{49\pi}{6})$.
$\frac{49\pi}{6} = \frac{48\pi + \pi}{6} = 8\pi + \frac{\pi}{6}$. Период синуса $2\pi$.
$sin(\frac{49\pi}{6}) = sin(8\pi + \frac{\pi}{6}) = sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Тогда $-2sin(\frac{49\pi}{6}) = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$.

3. Упростим $ctg(\frac{21\pi}{4})$.
$\frac{21\pi}{4} = \frac{20\pi + \pi}{4} = 5\pi + \frac{\pi}{4}$. Период котангенса $\pi$.
$ctg(\frac{21\pi}{4}) = ctg(5\pi + \frac{\pi}{4}) = ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$.

4. Подставим значения в преобразованное выражение:
$-1 - 1 + 1 = -1$.

Ответ: $-1$