Номер 9.10, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§9. Формулы приведения. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 9.10, страница 27.

9.10 a) $\frac{\cos (\pi - t) + \cos \left(\frac{\pi}{2} - t\right)}{\sin (2\pi - t) - \sin \left(\frac{3\pi}{2} - t\right)};$

б) $\frac{\sin^2 (\pi - t) + \sin^2 \left(\frac{\pi}{2} - t\right)}{\sin (\pi - t)} \cdot \operatorname{tg} (\pi - t).$

a)

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами приведения, которые позволяют свести тригонометрические функции произвольного угла к функциям острого угла.

Исходное выражение:

$$ \frac{\cos(\pi - t) + \cos(\frac{\pi}{2} - t)}{\sin(2\pi - t) - \sin(\frac{3\pi}{2} - t)} $$

1. Упростим числитель дроби: $\cos(\pi - t) + \cos(\frac{\pi}{2} - t)$.

• $\cos(\pi - t)$: Угол $(\pi - t)$ принадлежит второй координатной четверти, в которой косинус отрицателен. При приведении от угла $\pi$ название функции не меняется. Таким образом, $\cos(\pi - t) = -\cos(t)$.
• $\cos(\frac{\pi}{2} - t)$: Угол $(\frac{\pi}{2} - t)$ принадлежит первой координатной четверти, в которой все тригонометрические функции положительны. При приведении от угла $\frac{\pi}{2}$ название функции меняется на кофункцию (косинус на синус). Таким образом, $\cos(\frac{\pi}{2} - t) = \sin(t)$.

Следовательно, числитель равен: $-\cos(t) + \sin(t)$.

2. Упростим знаменатель дроби: $\sin(2\pi - t) - \sin(\frac{3\pi}{2} - t)$.

• $\sin(2\pi - t)$: Угол $(2\pi - t)$ принадлежит четвертой координатной четверти, в которой синус отрицателен. При приведении от угла $2\pi$ название функции не меняется. Таким образом, $\sin(2\pi - t) = -\sin(t)$.
• $\sin(\frac{3\pi}{2} - t)$: Угол $(\frac{3\pi}{2} - t)$ принадлежит третьей координатной четверти, в которой синус отрицателен. При приведении от угла $\frac{3\pi}{2}$ название функции меняется на кофункцию (синус на косинус). Таким образом, $\sin(\frac{3\pi}{2} - t) = -\cos(t)$.

Следовательно, знаменатель равен: $-\sin(t) - (-\cos(t)) = -\sin(t) + \cos(t)$.

3. Подставим упрощенные выражения в исходную дробь:

$$ \frac{-\cos(t) + \sin(t)}{-\sin(t) + \cos(t)} = \frac{\sin(t) - \cos(t)}{\cos(t) - \sin(t)} $$

Вынесем в знаменателе знак минус за скобки:

$$ \frac{\sin(t) - \cos(t)}{-(\sin(t) - \cos(t))} $$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (при условии, что $\sin(t) \neq \cos(t)$):

$$ \frac{1}{-1} = -1 $$

Ответ: $-1$

б)

Для упрощения данного выражения также воспользуемся формулами приведения и основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Исходное выражение:

$$ \frac{\sin^2(\pi - t) + \sin^2(\frac{\pi}{2} - t)}{\sin(\pi - t)} \cdot \tg(\pi - t) $$

1. Упростим первый множитель (дробь).

• $\sin(\pi - t)$: Угол $(\pi - t)$ принадлежит второй четверти, синус в ней положителен. Название функции не меняется. Значит, $\sin(\pi - t) = \sin(t)$. Отсюда $\sin^2(\pi - t) = \sin^2(t)$.
• $\sin(\frac{\pi}{2} - t)$: Угол $(\frac{\pi}{2} - t)$ принадлежит первой четверти, синус в ней положителен. Название функции меняется на кофункцию. Значит, $\sin(\frac{\pi}{2} - t) = \cos(t)$. Отсюда $\sin^2(\frac{\pi}{2} - t) = \cos^2(t)$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$$ \frac{\sin^2(t) + \cos^2(t)}{\sin(t)} $$

Используя основное тригонометрическое тождество в числителе, получаем:

$$ \frac{1}{\sin(t)} $$

2. Упростим второй множитель $\tg(\pi - t)$.

• $\tg(\pi - t)$: Угол $(\pi - t)$ принадлежит второй четверти, тангенс в ней отрицателен. Название функции не меняется. Значит, $\tg(\pi - t) = -\tg(t)$.

3. Перемножим упрощенные части выражения:

$$ \frac{1}{\sin(t)} \cdot (-\tg(t)) $$

Используем определение тангенса $\tg(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)}$:

$$ \frac{1}{\sin(t)} \cdot \left(-\frac{\sin(t)}{\cos(t)}\right) = -\frac{\sin(t)}{\sin(t) \cdot \cos(t)} $$

Сокращаем дробь на $\sin(t)$ (при условии, что $\sin(t) \neq 0$):

$$ -\frac{1}{\cos(t)} $$

Ответ: $-\frac{1}{\cos(t)}$