Номер 9.14, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 2. Тригонометрические функции. §9. Формулы приведения - номер 9.14, страница 28.

Условие.

9.14 а) $\sin^2(\pi + t) + \cos^2(2\pi - t) = 0;$

б) $\sin^2(\pi - t) + \cos^2(2\pi + t) = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) $sin^2(\pi + t) + cos^2(2\pi - t) = 0$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулами приведения. Формулы приведения позволяют свести тригонометрические функции произвольного угла к функциям острого угла.

Упростим первое слагаемое $sin^2(\pi + t)$. Согласно формуле приведения, $sin(\pi + t) = -sin(t)$, так как угол $(\pi + t)$ находится в III координатной четверти, где синус отрицателен.

Возводя в квадрат, получаем: $sin^2(\pi + t) = (-sin(t))^2 = sin^2(t)$.

Упростим второе слагаемое $cos^2(2\pi - t)$. Согласно формуле приведения, $cos(2\pi - t) = cos(t)$, так как угол $(2\pi - t)$ находится в IV координатной четверти, где косинус положителен. Также можно использовать свойство периодичности косинуса: $cos(2\pi - t) = cos(-t)$, и так как косинус — четная функция, $cos(-t) = cos(t)$.

Возводя в квадрат, получаем: $cos^2(2\pi - t) = (cos(t))^2 = cos^2(t)$.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$sin^2(t) + cos^2(t) = 0$

Мы знаем, что основное тригонометрическое тождество гласит: $sin^2(t) + cos^2(t) = 1$ для любого действительного значения $t$.

Таким образом, наше уравнение превращается в неверное равенство $1 = 0$.

Это означает, что исходное уравнение не имеет решений, так как ни при каком значении $t$ оно не может быть верным.

Ответ: решений нет ( $t \in \emptyset$ ).

б) $sin^2(\pi - t) + cos^2(2\pi + t) = 1$

Так же, как и в предыдущем пункте, применим формулы приведения и свойства тригонометрических функций.

Упростим первое слагаемое $sin^2(\pi - t)$. По формуле приведения, $sin(\pi - t) = sin(t)$, так как угол $(\pi - t)$ находится во II координатной четверти, где синус положителен.

Следовательно, $sin^2(\pi - t) = (sin(t))^2 = sin^2(t)$.

Упростим второе слагаемое $cos^2(2\pi + t)$. Функция косинуса имеет период $2\pi$, что означает $cos(x + 2\pi) = cos(x)$ для любого $x$.

Поэтому $cos(2\pi + t) = cos(t)$.

Следовательно, $cos^2(2\pi + t) = (cos(t))^2 = cos^2(t)$.

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$sin^2(t) + cos^2(t) = 1$

Полученное равенство является основным тригонометрическим тождеством. Оно верно для любого действительного числа $t$.

Это означает, что какое бы значение $t$ мы ни подставили в исходное уравнение, оно всегда будет обращаться в верное равенство.

Ответ: $t$ — любое действительное число ( $t \in R$ ).