Номер 10.5, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§10. Функция у = sinx, её свойства и график. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 10.5, страница 29.

10.5 Не выполняя построения, ответьте, принадлежит ли графику функции $y = -\sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) + 2$ точка:

а) $(0; \frac{3}{2})$;

б) $(\frac{\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{2} + 2)$;

в) $(\frac{2\pi}{3}; \frac{3}{2})$;

г) $(4\pi; 2.5)$.

а) Чтобы проверить, принадлежит ли точка с координатами $(0; \frac{3}{2})$ графику функции $y = -\sin(x + \frac{\pi}{6}) + 2$, необходимо подставить значение абсциссы $x=0$ в уравнение функции и проверить, совпадет ли полученное значение $y$ с ординатой точки, равной $\frac{3}{2}$.
Подставим $x = 0$:
$y = -\sin(0 + \frac{\pi}{6}) + 2 = -\sin(\frac{\pi}{6}) + 2$
Зная, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:
$y = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$.
Так как вычисленное значение $y = \frac{3}{2}$ совпадает с ординатой точки, точка принадлежит графику функции.
Ответ: да.

б) Проверим принадлежность точки с координатами $(\frac{\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{2} + 2)$ графику функции.
Подставим $x = \frac{\pi}{6}$ в уравнение:
$y = -\sin(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) + 2 = -\sin(\frac{2\pi}{6}) + 2 = -\sin(\frac{\pi}{3}) + 2$
Зная, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$y = -\frac{\sqrt{3}}{2} + 2$.
Вычисленное значение $y$ совпадает с ординатой точки. Следовательно, точка принадлежит графику.
Ответ: да.

в) Проверим принадлежность точки с координатами $(\frac{2\pi}{3}; \frac{3}{2})$ графику функции.
Подставим $x = \frac{2\pi}{3}$ в уравнение:
$y = -\sin(\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) + 2$
Для сложения аргументов синуса приведем их к общему знаменателю 6: $\frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6}$.
$y = -\sin(\frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) + 2 = -\sin(\frac{5\pi}{6}) + 2$
Используя формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$, находим, что $\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
$y = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$.
Вычисленное значение $y$ совпадает с ординатой точки. Следовательно, точка принадлежит графику.
Ответ: да.

г) Проверим принадлежность точки с координатами $(4\pi; 2,5)$ графику функции.
Подставим $x = 4\pi$ в уравнение:
$y = -\sin(4\pi + \frac{\pi}{6}) + 2$
Так как функция синус периодична с периодом $2\pi$, то $\sin(4\pi + \alpha) = \sin(\alpha)$.
$y = -\sin(4\pi + \frac{\pi}{6}) + 2 = -\sin(\frac{\pi}{6}) + 2 = -\frac{1}{2} + 2 = 1,5$.
Вычисленное значение $y=1,5$ не совпадает с ординатой точки $2,5$. Следовательно, точка не принадлежит графику.
Ответ: нет.