Номер 10.11, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§10. Функция у = sinx, её свойства и график. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 10.11, страница 30.

10.11 a) $y = -\sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right);$

б) $y = -\sin x + 3.$

а) $y = -\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$

Для построения графика данной функции необходимо выполнить последовательные геометрические преобразования графика основной функции $y = \sin x$.

Шаг 1. Построить график функции $y = \sin x$.

Шаг 2. Сдвинуть график $y = \sin x$ влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{6}$ единиц. В результате этого преобразования получится график функции $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$. Это называется фазовым сдвигом.

Шаг 3. Отразить график, полученный на втором шаге, симметрично относительно оси Ox. Это даст искомый график функции $y = -\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$.

Проанализируем основные свойства функции $y = -\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$:

Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как функция синус определена для любого действительного аргумента.

Область значений: Известно, что $-1 \le \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \le 1$. При умножении всех частей неравенства на $-1$ знаки неравенства меняются на противоположные, но сам диапазон остается прежним: $-1 \le -\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \le 1$. Таким образом, область значений функции $E(y) = [-1; 1]$.

Период: Горизонтальный сдвиг и отражение относительно оси Ox не влияют на период функции. Следовательно, основной период $T$ равен периоду функции $y = \sin x$, то есть $T = 2\pi$.

Нули функции: Точки пересечения с осью Ox находятся из условия $y=0$:
$-\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 0 \implies \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 0$
$x + \frac{\pi}{6} = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = -\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ получается из графика $y = \sin x$ путем сдвига влево на $\frac{\pi}{6}$ и последующего симметричного отражения относительно оси Ox. Область значений функции: $[-1, 1]$, период: $2\pi$, нули функции: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = -\sin x + 3$

Для построения графика этой функции также выполним преобразования графика $y = \sin x$.

Шаг 1. Построить график функции $y = \sin x$.

Шаг 2. Отразить график $y = \sin x$ симметрично относительно оси абсцисс (Ox). В результате этого преобразования получится график функции $y = -\sin x$.

Шаг 3. Сдвинуть полученный график вверх вдоль оси ординат (Oy) на 3 единицы. Это даст искомый график функции $y = -\sin x + 3$. Это преобразование является вертикальным сдвигом.

Проанализируем основные свойства функции $y = -\sin x + 3$:

Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: Исходная функция $y = \sin x$ имеет область значений $[-1, 1]$. Функция $y = -\sin x$ имеет ту же область значений $[-1, 1]$. После сдвига на 3 единицы вверх, каждая точка графика поднимается на 3, поэтому область значений становится $[-1+3, 1+3]$, то есть $E(y) = [2; 4]$.

Период: Отражение и вертикальный сдвиг не влияют на период функции, поэтому он остается таким же, как у $y = \sin x$, то есть $T = 2\pi$.

Нули функции: Найдем точки пересечения с осью Ox из условия $y=0$:
$-\sin x + 3 = 0 \implies \sin x = 3$
Данное уравнение не имеет решений, так как область значений синуса $[-1, 1]$, и значение 3 в нее не входит. Следовательно, у функции нет нулей, и ее график не пересекает ось Ox.

Ответ: График функции $y = -\sin x + 3$ получается из графика $y = \sin x$ путем симметричного отражения относительно оси Ox и последующего сдвига вверх на 3 единицы. Область значений функции: $[2, 4]$, период: $2\pi$, нулей у функции нет.