Номер 10.16, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§10. Функция у = sinx, её свойства и график. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 10.16, страница 30.

10.16 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} \sin x, \text{ если } -\pi \le x \le 0, \\ \sqrt{x}, \text{ если } x > 0. \end{cases}$

а) Вычислите: $f\left(-\frac{\pi}{2}\right)$, $f(0)$, $f(1)$, $f(\pi^2)$;

б) постройте график функции $y = f(x)$;

в) прочитайте график функции $y = f(x)$.

а) Вычислите: $f\left(-\frac{\pi}{2}\right), f(0), f(1), f(\pi^2)$

Для вычисления значений функции в заданных точках необходимо определить, какому из интервалов области определения принадлежит аргумент x, и использовать соответствующую формулу.

1. Для $f\left(-\frac{\pi}{2}\right)$: аргумент $x = -\frac{\pi}{2}$ удовлетворяет условию $-\pi \le x \le 0$. Следовательно, используем формулу $f(x) = \sin x$.
$f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$.

2. Для $f(0)$: аргумент $x = 0$ удовлетворяет условию $-\pi \le x \le 0$. Используем ту же формулу $f(x) = \sin x$.
$f(0) = \sin(0) = 0$.

3. Для $f(1)$: аргумент $x = 1$ удовлетворяет условию $x > 0$. Следовательно, используем формулу $f(x) = \sqrt{x}$.
$f(1) = \sqrt{1} = 1$.

4. Для $f(\pi^2)$: аргумент $x = \pi^2$. Поскольку $\pi \approx 3.14$, то $\pi^2 \approx 9.86 > 0$, что удовлетворяет условию $x > 0$. Используем формулу $f(x) = \sqrt{x}$.
$f(\pi^2) = \sqrt{\pi^2} = \pi$.

Ответ: $f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$; $f(0) = 0$; $f(1) = 1$; $f(\pi^2) = \pi$.

б) постройте график функции $y = f(x)$

График функции $y = f(x)$ строится из двух частей, соответствующих двум аналитическим выражениям функции на разных промежутках.

1. На отрезке $[-\pi, 0]$ строим график функции $y = \sin x$. Это известная кривая (синусоида). На данном отрезке она представляет собой одну "впадину", которая начинается в точке $(-\pi, 0)$, достигает своего минимума в точке $\left(-\frac{\pi}{2}, -1\right)$ и возвращается к оси абсцисс в точке $(0, 0)$.

2. На промежутке $(0, +\infty)$ строим график функции $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, симметричная относительно прямой $y=x$ ветви параболы $y=x^2$ при $x \ge 0$. График начинается в точке $(0, 0)$ и плавно возрастает, проходя через контрольные точки $(1, 1)$, $(4, 2)$, $(9, 3)$ и так далее.

Поскольку значение функции в точке $x=0$ по первому правилу ($f(0)=\sin(0)=0$) совпадает с пределом функции по второму правилу справа ($\lim_{x\to 0^+} \sqrt{x} = 0$), обе части графика плавно соединяются в начале координат. В итоге получается непрерывная кривая.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную кривую, состоящую из арки синусоиды на отрезке $[-\pi, 0]$ (от точки $(-\pi, 0)$ до $(0, 0)$ через минимум в $\left(-\frac{\pi}{2}, -1\right)$) и графика квадратного корня на луче $(0, +\infty)$ (начинается в $(0, 0)$ и идет вправо-вверх).

в) прочитайте график функции $y = f(x)$

Прочитать график функции означает описать её основные свойства.

1. Область определения: $D(f) = [-\pi, +\infty)$.

2. Область значений: $E(f) = [-1, +\infty)$.

3. Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $f(x)=0$ при $x = -\pi$ и $x = 0$.

4. Промежутки знакопостоянства:
$f(x) < 0$ (график ниже оси Ox) при $x \in (-\pi, 0)$;
$f(x) > 0$ (график выше оси Ox) при $x \in (0, +\infty)$.

5. Промежутки монотонности:
Функция убывает на промежутке $\left[-\pi, -\frac{\pi}{2}\right]$;
Функция возрастает на промежутке $\left[-\frac{\pi}{2}, +\infty\right)$.

6. Экстремумы:
$x_{min} = -\frac{\pi}{2}$ — точка минимума.
$y_{min} = -1$ — наименьшее значение функции (глобальный минимум).

7. Четность, нечетность: Функция является функцией общего вида, так как ее область определения $D(f) = [-\pi, +\infty)$ несимметрична относительно начала координат.

8. Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Основные свойства функции:
- Область определения: $[-\pi, +\infty)$.
- Область значений: $[-1, +\infty)$.
- Нули: $x=-\pi$, $x=0$.
- $f(x) < 0$ на $(-\pi, 0)$; $f(x) > 0$ на $(0, +\infty)$.
- Убывает на $\left[-\pi, -\frac{\pi}{2}\right]$, возрастает на $\left[-\frac{\pi}{2}, +\infty\right)$.
- Глобальный минимум $y_{min}=-1$ в точке $x=-\frac{\pi}{2}$.
- Функция общего вида, непрерывная.