Номер 10.9, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§10. Функция у = sinx, её свойства и график. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 10.9, страница 30.

10.9 а) $y = \sin x - 2;$

Б) $y = \sin x + 1;$

В) $y = \sin x + 2;$

Г) $y = \sin x - 3.$

а) Для нахождения области значений функции $y = \sin x - 2$ воспользуемся известной областью значений синуса: $E(\sin x) = [-1; 1]$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-1 \le \sin x \le 1$. Вычитая 2 из всех частей этого неравенства, получаем: $-1 - 2 \le \sin x - 2 \le 1 - 2$, откуда следует, что $-3 \le y \le -1$. Следовательно, область значений данной функции есть отрезок $[-3; -1]$.
Ответ: $E(y) = [-3; -1]$

б) Область значений функции $y = \sin x$ есть отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$. Для функции $y = \sin x + 1$ прибавим 1 ко всем частям этого неравенства: $-1 + 1 \le \sin x + 1 \le 1 + 1$. Упрощая, получаем $0 \le y \le 2$. Таким образом, область значений функции — это отрезок $[0; 2]$.
Ответ: $E(y) = [0; 2]$

в) Исходная функция $y = \sin x$ имеет область значений $[-1; 1]$, что эквивалентно неравенству $-1 \le \sin x \le 1$. Для того чтобы найти область значений функции $y = \sin x + 2$, прибавим 2 к каждой части неравенства: $-1 + 2 \le \sin x + 2 \le 1 + 2$. В результате получаем $1 \le y \le 3$. Значит, искомая область значений — это отрезок $[1; 3]$.
Ответ: $E(y) = [1; 3]$

г) Возьмем за основу область значений функции $y = \sin x$, которая представляет собой отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что $-1 \le \sin x \le 1$. Для функции $y = \sin x - 3$ необходимо вычесть 3 из каждой части неравенства: $-1 - 3 \le \sin x - 3 \le 1 - 3$. После вычислений получаем $-4 \le y \le -2$. Следовательно, область значений функции — это отрезок $[-4; -2]$.
Ответ: $E(y) = [-4; -2]$