Номер 10.10, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§10. Функция у = sinx, её свойства и график. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 10.10, страница 30.

10.10 a) $y = \sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 1;$

б) $y = \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 1.$

а) $y = \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1$

График данной функции можно получить из графика основной функции $y = \sin(x)$ с помощью двух последовательных геометрических преобразований:

1. Параллельный перенос (сдвиг) графика функции $y = \sin(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox) на $\frac{\pi}{4}$ единиц вправо. В результате этого преобразования мы получаем график функции $y = \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$.
2. Параллельный перенос (сдвиг) полученного на первом шаге графика вдоль оси ординат (Oy) на 1 единицу вверх. В результате мы получаем график искомой функции $y = \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1$.

Исследуем основные свойства функции:

• Область определения: Функция синус определена для любых действительных значений аргумента, поэтому область определения данной функции — все действительные числа. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Стандартная функция $y = \sin(x)$ имеет область значений $[-1; 1]$. Это означает, что для любого аргумента $-1 \le \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) \le 1$. Прибавляя 1 ко всем частям двойного неравенства, получаем: $-1+1 \le \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1 \le 1+1$, что равносильно $0 \le y \le 2$. Следовательно, область значений функции: $E(y) = [0; 2]$.
• Периодичность: Функция является периодической. Период функции $y = \sin(x)$ равен $2\pi$. Горизонтальные и вертикальные сдвиги не изменяют период функции, поэтому наименьший положительный период данной функции также равен $T = 2\pi$.
• Нули функции: Нули функции — это значения $x$, при которых $y=0$.
  $\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1 = 0$
  $\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) = -1$
  Это уравнение имеет решения, когда аргумент синуса равен $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
  $x-\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$
  $x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
  Эти точки являются также точками минимума функции.
• Точки экстремума:
  • Максимумы: Максимальное значение функции равно 2. Оно достигается, когда $\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
    $x-\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
    $x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
  • Минимумы: Минимальное значение функции равно 0. Оно достигается, когда $\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) = -1$.
    $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = [0; 2]$; наименьший положительный период $T = 2\pi$. График функции получается сдвигом графика $y=\sin(x)$ на $\frac{\pi}{4}$ вправо по оси Ox и на 1 вверх по оси Oy.

б) $y = \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-1$

График этой функции получается из графика $y = \sin(x)$ при помощи следующих преобразований:

1. Параллельный перенос графика $y = \sin(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox) на $\frac{\pi}{3}$ единиц влево (так как $x+\frac{\pi}{3} = x - (-\frac{\pi}{3})$). Это дает график функции $y = \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$.
2. Параллельный перенос полученного графика вдоль оси ординат (Oy) на 1 единицу вниз. Это дает искомый график $y = \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-1$.

Свойства функции:

• Область определения: Аргумент синуса может быть любым действительным числом. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Известно, что $-1 \le \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) \le 1$. Вычитая 1 из всех частей неравенства, получаем: $-1-1 \le \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-1 \le 1-1$, то есть $-2 \le y \le 0$. Область значений: $E(y) = [-2; 0]$.
• Периодичность: Сдвиги не влияют на период, поэтому наименьший положительный период функции $T = 2\pi$.
• Нули функции: Найдем значения $x$, при которых $y=0$.
  $\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-1 = 0$
  $\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) = 1$
  Аргумент синуса должен быть равен $\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
  $x+\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
  $x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{3\pi-2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
  Эти точки являются также точками максимума функции.
• Точки экстремума:
  • Максимумы: Максимальное значение функции равно 0, и оно достигается при $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
  • Минимумы: Минимальное значение функции равно -2. Оно достигается, когда $\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) = -1$.
    $x+\frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
    $x = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{-3\pi-2\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = [-2; 0]$; наименьший положительный период $T = 2\pi$. График функции получается сдвигом графика $y=\sin(x)$ на $\frac{\pi}{3}$ влево по оси Ox и на 1 вниз по оси Oy.