Номер 10.12, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§10. Функция у = sinx, её свойства и график. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 10.12, страница 30.

10.12 Докажите, что функция $y = f(x)$ является нечётной, если:

а) $f(x) = x + \sin x;$

б) $f(x) = x^3 \cdot \sin x^2;$

в) $f(x) = \frac{x^2 \cdot \sin x}{x^2 - 9};$

г) $f(x) = x^3 - \sin x.$

Для доказательства того, что функция является нечётной, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. 1. Область определения функции, $D(f)$, должна быть симметрична относительно нуля (если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. 2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(-x) = -f(x)$.

а) $f(x) = x + \sin x$

1. Область определения данной функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как и функция $y=x$, и функция $y=\sin x$ определены для всех действительных чисел. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Проверим второе условие. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x) + \sin(-x)$

Используя свойство нечётности функции синус, $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:

$f(-x) = -x - \sin x = -(x + \sin x) = -f(x)$

Оба условия выполняются, следовательно, функция является нечётной.

Ответ: Доказано, что функция $f(x) = x + \sin x$ является нечётной.

б) $f(x) = x^3 \cdot \sin^2 x$

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как функции $y=x^3$ и $y=\sin^2 x$ определены для всех действительных чисел. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Проверим второе условие. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^3 \cdot \sin^2(-x)$

Так как степенная функция с нечётным показателем является нечётной, то $(-x)^3 = -x^3$. Функция синус — нечётная, но она возводится в квадрат: $\sin^2(-x) = (\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$.

Тогда:

$f(-x) = (-x^3) \cdot (\sin^2 x) = - (x^3 \cdot \sin^2 x) = -f(x)$

Оба условия выполняются, следовательно, функция является нечётной.

Ответ: Доказано, что функция $f(x) = x^3 \cdot \sin^2 x$ является нечётной.

в) $f(x) = \frac{x^2 \cdot \sin x}{x^2 - 9}$

1. Область определения функции находится из условия, что знаменатель не равен нулю: $x^2 - 9 \neq 0$, что означает $x \neq \pm 3$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$. Данная область определения симметрична относительно нуля.

2. Проверим второе условие. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{(-x)^2 \cdot \sin(-x)}{(-x)^2 - 9}$

Используем свойства чётности и нечётности: $(-x)^2 = x^2$ и $\sin(-x) = -\sin x$.

Получаем:

$f(-x) = \frac{x^2 \cdot (-\sin x)}{x^2 - 9} = - \frac{x^2 \cdot \sin x}{x^2 - 9} = -f(x)$

Оба условия выполняются, следовательно, функция является нечётной.

Ответ: Доказано, что функция $f(x) = \frac{x^2 \cdot \sin x}{x^2 - 9}$ является нечётной.

г) $f(x) = x^3 - \sin x$

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как и $y=x^3$, и $y=\sin x$ определены для всех действительных чисел. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Проверим второе условие. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^3 - \sin(-x)$

Функции $y=x^3$ и $y=\sin x$ являются нечётными, поэтому $(-x)^3 = -x^3$ и $\sin(-x) = -\sin x$.

Тогда:

$f(-x) = (-x^3) - (-\sin x) = -x^3 + \sin x = -(x^3 - \sin x) = -f(x)$

Оба условия выполняются, следовательно, функция является нечётной.

Ответ: Доказано, что функция $f(x) = x^3 - \sin x$ является нечётной.