Номер 10.13, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§10. Функция у = sinx, её свойства и график. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 10.13, страница 30.

10.13 Докажите, что функция $y = f(x)$ является чётной, если:

a) $f(x) = x^5 \cdot \sin \frac{x}{2};$

б) $f(x) = \frac{\sin^2 x}{x^2 - 1};$

в) $f(x) = \frac{2 \sin \frac{x}{2}}{x^3};$

г) $f(x) = \sin^2 x - x^4.$

а) Для того чтобы доказать, что функция $f(x) = x^5 \cdot \sin \frac{x}{2}$ является чётной, необходимо проверить два условия: симметричность области определения и выполнение равенства $f(-x) = f(x)$.

1. Область определения. Функция $x^5$ и функция $\sin \frac{x}{2}$ определены для всех действительных чисел. Следовательно, их произведение также определено для всех $x \in \mathbb{R}$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно нуля.

2. Проверка равенства $f(-x) = f(x)$. Найдём значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = (-x)^5 \cdot \sin\left(\frac{-x}{2}\right)$.

Так как степенная функция с нечётным показателем является нечётной ($(-a)^5 = -a^5$), а функция синус также является нечётной ($\sin(-t) = -\sin(t)$), получаем:

$f(-x) = (-x^5) \cdot \left(-\sin\frac{x}{2}\right) = x^5 \cdot \sin\frac{x}{2}$.

Таким образом, $f(-x) = f(x)$. Оба условия выполнены, следовательно, функция является чётной, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что функция является чётной.

б) Для доказательства, что функция $f(x) = \frac{\sin^2 x}{x^2 - 1}$ является чётной, проверим выполнение двух условий: симметричность области определения и равенство $f(-x) = f(x)$.

1. Область определения. Функция определена, если её знаменатель не равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0$, что означает $x^2 \neq 1$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$. Эта область является симметричной относительно нуля, так как если $x$ принадлежит $D(f)$, то и $-x$ также принадлежит $D(f)$.

2. Проверка равенства $f(-x) = f(x)$. Найдём значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = \frac{\sin^2(-x)}{(-x)^2 - 1}$.

Упростим выражение. В числителе, используя свойство нечётности синуса: $\sin^2(-x) = (\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$. В знаменателе: $(-x)^2 - 1 = x^2 - 1$.

Следовательно:

$f(-x) = \frac{\sin^2 x}{x^2 - 1}$.

Таким образом, $f(-x) = f(x)$. Оба условия выполнены, следовательно, функция является чётной, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что функция является чётной.

в) Для доказательства, что функция $f(x) = \frac{2 \sin \frac{x}{2}}{x^3}$ является чётной, проверим выполнение двух условий: симметричность области определения и равенство $f(-x) = f(x)$.

1. Область определения. Функция определена, если её знаменатель не равен нулю: $x^3 \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область является симметричной относительно нуля.

2. Проверка равенства $f(-x) = f(x)$. Найдём значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = \frac{2 \sin\left(\frac{-x}{2}\right)}{(-x)^3}$.

Упростим выражение, используя свойство нечётности функции синус ($\sin(-t) = -\sin(t)$) и нечётности степенной функции с нечётным показателем ($(-a)^3 = -a^3$):

Числитель: $2 \sin\left(\frac{-x}{2}\right) = 2 \left(-\sin\frac{x}{2}\right) = -2 \sin\frac{x}{2}$.

Знаменатель: $(-x)^3 = -x^3$.

Следовательно:

$f(-x) = \frac{-2 \sin\frac{x}{2}}{-x^3} = \frac{2 \sin\frac{x}{2}}{x^3}$.

Таким образом, $f(-x) = f(x)$. Оба условия выполнены, следовательно, функция является чётной, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что функция является чётной.

г) Для доказательства, что функция $f(x) = \sin^2 x - x^4$ является чётной, проверим выполнение двух условий: симметричность области определения и равенство $f(-x) = f(x)$.

1. Область определения. Функции $\sin^2 x$ и $x^4$ определены для всех действительных чисел. Их разность также определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно нуля.

2. Проверка равенства $f(-x) = f(x)$. Найдём значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = \sin^2(-x) - (-x)^4$.

Упростим выражение. Функция $\sin^2 x$ является чётной, так как $\sin^2(-x) = (\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$. Функция $x^4$ также является чётной, так как $(-x)^4 = x^4$.

Следовательно:

$f(-x) = \sin^2 x - x^4$.

Таким образом, $f(-x) = f(x)$. Оба условия выполнены, следовательно, функция является чётной, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что функция является чётной.