Номер 10.15, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§10. Функция у = sinx, её свойства и график. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 10.15, страница 30.

10.15 Постройте график функции $y = f(x)$, где:

а) $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 0 \\ \sin x, & \text{если } x \geq 0 \end{cases}$

б) $f(x) = \begin{cases} \sin x, & \text{если } x < 0 \\ x^2, & \text{если } x \geq 0 \end{cases}$

а) $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 0 \\ \sin x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Для построения графика этой кусочно-заданной функции необходимо построить график каждой из составляющих функций на заданном для неё интервале.

1. На промежутке $x < 0$ функция задаётся формулой $y = x^2$. Графиком этой функции является парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. Так как нас интересует только часть графика при $x < 0$, мы строим левую ветвь этой параболы. Эта ветвь проходит через точки, например, $(-1, 1)$, $(-2, 4)$. При приближении $x$ к 0 слева ($x \to 0^-$), значение функции стремится к $0^2 = 0$. Таким образом, левая ветвь графика подходит к точке $(0, 0)$.

2. На промежутке $x \ge 0$ функция задаётся формулой $y = \sin x$. Графиком является синусоида. Мы строим её для всех неотрицательных значений $x$. График начинается в точке $(0, 0)$, поскольку $\sin(0) = 0$. Эта точка принадлежит графику, так как неравенство $x \ge 0$ нестрогое. Далее график проходит через ключевые точки: максимум в $(\frac{\pi}{2}, 1)$, пересечение с осью Ox в $(\pi, 0)$, минимум в $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, следующее пересечение с осью Ox в $(2\pi, 0)$ и так далее, совершая колебания в диапазоне от -1 до 1.

3. Объединяя эти две части, мы видим, что левая часть графика (ветвь параболы) и правая часть (синусоида) соединяются в точке $(0, 0)$. Это означает, что функция непрерывна в точке $x=0$.

Ответ: График функции состоит из двух частей: для $x < 0$ это левая ветвь параболы $y=x^2$, а для $x \ge 0$ это график функции $y=\sin x$. Обе части графика непрерывно соединяются в начале координат, точке $(0, 0)$.

б) $f(x) = \begin{cases} \sin x, & \text{если } x < 0 \\ x^2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Построение графика этой функции аналогично предыдущему пункту, но части функции меняются местами относительно оси Oy.

1. На промежутке $x < 0$ функция задаётся формулой $y = \sin x$. Мы строим график синусоиды для отрицательных значений $x$. График проходит через точки $(-\pi, 0)$, $(-2\pi, 0)$. Он имеет локальный минимум в точке $(-\frac{\pi}{2}, -1)$, локальный максимум в точке $(-\frac{3\pi}{2}, 1)$ и так далее. При приближении $x$ к 0 слева ($x \to 0^-$), значение функции стремится к $\sin(0) = 0$. График подходит к точке $(0, 0)$.

2. На промежутке $x \ge 0$ функция задаётся формулой $y = x^2$. Это правая ветвь параболы с вершиной в начале координат. График начинается в точке $(0, 0)$, так как $0^2 = 0$, и эта точка принадлежит графику. Далее ветвь параболы проходит через точки $(1, 1)$, $(2, 4)$ и уходит вверх.

3. Объединяя графики, мы видим, что левая часть (синусоида) и правая часть (ветвь параболы) также соединяются в точке $(0, 0)$, образуя непрерывный график.

Ответ: График функции состоит из двух частей: для $x < 0$ это график функции $y=\sin x$, а для $x \ge 0$ это правая ветвь параболы $y=x^2$. Обе части графика непрерывно соединяются в точке $(0, 0)$.