Номер 10.21, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§10. Функция у = sinx, её свойства и график. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 10.21, страница 31.

Решите графически уравнение:

10.21 a) $\sin x = x + \pi;$

б) $\sin x = 2x;$

в) $\sin x + x = 0;$

г) $\sin x = 2x - 2\pi.$

а) $\sin x = x + \pi$

Для решения этого уравнения графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = \sin x$ и $y_2 = x + \pi$. Решениями уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

График функции $y_1 = \sin x$ — это синусоида. Это периодическая функция с периодом $2\pi$, и ее значения находятся в пределах от $-1$ до $1$.

График функции $y_2 = x + \pi$ — это прямая линия. Она имеет угловой коэффициент, равный $1$, и пересекает ось $y$ в точке $(0, \pi)$ и ось $x$ в точке $(-\pi, 0)$.

Нанесем оба графика на координатную плоскость. Мы можем заметить, что прямая $y = x + \pi$ проходит через точку $(-\pi, 0)$. Проверим, лежит ли эта точка на синусоиде: $y_1(-\pi) = \sin(-\pi) = 0$. Так как обе функции в точке $x = -\pi$ принимают значение $0$, их графики пересекаются в точке $(-\pi, 0)$.

Чтобы определить, есть ли другие решения, рассмотрим области значений функций. Поскольку $y = \sin x$ всегда находится в диапазоне $[-1, 1]$, то и $y = x + \pi$ тоже должно находиться в этом диапазоне. Решим неравенство: $-1 \le x + \pi \le 1$, что дает нам $-\pi - 1 \le x \le 1 - \pi$. При $x > 1 - \pi$ (примерно $x > -2.14$) значение $x + \pi$ становится больше $1$, а при $x < -\pi - 1$ (примерно $x < -4.14$) значение $x + \pi$ становится меньше $-1$. В обоих случаях пересечений с синусоидой быть не может. В интервале $[-\pi - 1, 1 - \pi]$ графики имеют только одну точку пересечения, которую мы уже нашли. Таким образом, $x = -\pi$ является единственным решением.

Ответ: $x = -\pi$.

б) $\sin x = 2x$

Рассмотрим графики функций $y_1 = \sin x$ и $y_2 = 2x$. Решением уравнения будет абсцисса точки их пересечения.

График $y_1 = \sin x$ — это синусоида.

График $y_2 = 2x$ — это прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом $2$.

Построим графики. Очевидно, что оба графика проходят через начало координат $(0, 0)$, так как $\sin(0) = 0$ и $2 \cdot 0 = 0$. Следовательно, $x = 0$ является решением уравнения.

Сравним поведение функций вблизи нуля. В точке $x=0$ касательная к синусоиде имеет уравнение $y=x$ (так как производная $\sin x$ в точке $0$ равна $\cos(0)=1$). Угловой коэффициент прямой $y=2x$ равен $2$. Поскольку $2 > 1$, прямая $y=2x$ растет быстрее, чем $y=\sin x$ при $x > 0$, и убывает быстрее при $x < 0$. Это означает, что для $x \ne 0$ в некоторой окрестности нуля $|2x| > |\sin x|$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sin x - 2x$. Ее производная $f'(x) = \cos x - 2$. Так как $\cos x \le 1$, то $f'(x) \le 1 - 2 = -1$. Производная всегда отрицательна, следовательно, функция $f(x)$ является строго убывающей на всей числовой оси. Строго монотонная функция может пересекать ось абсцисс (т.е. принимать значение $0$) не более одного раза. Мы уже нашли, что $f(0) = 0$, значит, $x=0$ — это единственное решение.

Ответ: $x = 0$.

в) $\sin x + x = 0$

Перепишем уравнение в виде $\sin x = -x$. Для его решения построим графики функций $y_1 = \sin x$ и $y_2 = -x$.

График $y_1 = \sin x$ — синусоида.

График $y_2 = -x$ — прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом $-1$. Она является биссектрисой второго и четвертого координатных углов.

При построении графиков видно, что они пересекаются в начале координат, так как $\sin(0) = 0$ и $-0 = 0$. Таким образом, $x = 0$ — это решение.

Чтобы доказать, что это решение единственное, рассмотрим функцию $f(x) = \sin x + x$. Найдем ее производную: $f'(x) = \cos x + 1$. Поскольку $-1 \le \cos x \le 1$, то $0 \le \cos x + 1 \le 2$. Производная $f'(x)$ всегда неотрицательна и обращается в ноль только в отдельных точках вида $x = \pi + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой. Следовательно, она может принимать значение $0$ только один раз. Так как $f(0)=0$, то $x=0$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $x = 0$.

г) $\sin x = 2x - 2\pi$

Решим уравнение графически, построив графики функций $y_1 = \sin x$ и $y_2 = 2x - 2\pi$.

График $y_1 = \sin x$ — синусоида.

График $y_2 = 2x - 2\pi$ — прямая линия с угловым коэффициентом $2$. Найдем точки пересечения этой прямой с осями координат: если $x = 0$, то $y = -2\pi$. Точка $(0, -2\pi)$. если $y = 0$, то $2x - 2\pi = 0$, откуда $x = \pi$. Точка $(\pi, 0)$.

Построим графики. Прямая $y = 2x - 2\pi$ проходит через точку $(\pi, 0)$. Проверим, лежит ли эта точка на графике синусоиды: $y_1(\pi) = \sin(\pi) = 0$. Поскольку значения обеих функций в точке $x = \pi$ совпадают, их графики пересекаются в точке $(\pi, 0)$. Следовательно, $x = \pi$ является решением.

Для проверки единственности решения рассмотрим функцию $f(x) = \sin x - (2x - 2\pi) = \sin x - 2x + 2\pi$. Ее производная $f'(x) = \cos x - 2$. Как и в пункте б), эта производная всегда отрицательна ($f'(x) \le -1$). Значит, функция $f(x)$ строго убывает и может иметь не более одного корня. Мы уже нашли, что $f(\pi) = \sin(\pi) - 2\pi + 2\pi = 0$. Таким образом, $x = \pi$ — это единственное решение.

Ответ: $x = \pi$.