Номер 11.2, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 2. Тригонометрические функции. §11. Функция у = cos х, её свойства и график - номер 11.2, страница 32.

Условие.

11.2 a) $f(-x)$;

б) $f(3x)$;

в) $f(x + 2)$;

г) $f(x) - 6$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) f(-x);

Чтобы получить график функции $y = f(-x)$, нужно преобразовать график исходной функции $y = f(x)$. Возьмем любую точку $(x_0, y_0)$ на графике $y = f(x)$, для которой выполняется равенство $y_0 = f(x_0)$. Для графика функции $y = f(-x)$ точка с такой же ординатой $y_0$ будет иметь абсциссу $x_1$, удовлетворяющую условию $y_0 = f(-x_1)$. Приравнивая выражения для $y_0$, получаем $f(x_0) = f(-x_1)$, откуда следует, что $x_0 = -x_1$ или $x_1 = -x_0$. Таким образом, каждая точка $(x_0, y_0)$ графика $y = f(x)$ переходит в точку $(-x_0, y_0)$ графика $y = f(-x)$. Такое преобразование является симметричным отражением (симметрией) относительно оси ординат (оси OY).

Ответ: График функции $y = f(-x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси OY.

б) f(3x);

Чтобы получить график функции $y = f(3x)$, нужно преобразовать график исходной функции $y = f(x)$. Возьмем любую точку $(x_0, y_0)$ на графике $y = f(x)$, для которой $y_0 = f(x_0)$. Точка на новом графике с той же ординатой $y_0$ будет иметь абсциссу $x_1$, такую что $y_0 = f(3x_1)$. Отсюда $f(x_0) = f(3x_1)$, что означает $x_0 = 3x_1$ или $x_1 = \frac{x_0}{3}$. Это значит, что для каждой точки $(x_0, y_0)$ на исходном графике соответствующая точка на новом графике будет $(\frac{x_0}{3}, y_0)$. Абсцисса каждой точки уменьшилась в 3 раза при неизменной ординате. Такое преобразование является сжатием графика к оси ординат (оси OY) в 3 раза.

Ответ: График функции $y = f(3x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем сжатия к оси OY в 3 раза.

в) f(x + 2);

Чтобы получить график функции $y = f(x + 2)$, нужно преобразовать график исходной функции $y = f(x)$. Возьмем любую точку $(x_0, y_0)$ на графике $y = f(x)$, то есть $y_0 = f(x_0)$. Найдем, какая точка на новом графике будет иметь ту же ординату $y_0$. Её абсцисса $x_1$ должна удовлетворять равенству $y_0 = f(x_1 + 2)$. Сравнивая с исходным, получаем $f(x_0) = f(x_1 + 2)$, откуда $x_0 = x_1 + 2$ или $x_1 = x_0 - 2$. Следовательно, каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика переходит в точку $(x_0 - 2, y_0)$ нового графика. Такое преобразование представляет собой параллельный перенос (сдвиг) графика вдоль оси абсцисс (оси OX) на 2 единицы влево.

Ответ: График функции $y = f(x + 2)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса на 2 единицы влево вдоль оси OX.

г) f(x) - 6.

Чтобы получить график функции $y = f(x) - 6$, нужно преобразовать график исходной функции $y = f(x)$. Возьмем любую точку $(x_0, y_0)$ на графике $y = f(x)$, где $y_0 = f(x_0)$. Для нового графика рассмотрим точку с той же абсциссой $x_0$. Ее ордината будет равна $y_1 = f(x_0) - 6$. Так как $f(x_0) = y_0$, то $y_1 = y_0 - 6$. Таким образом, каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика переходит в точку $(x_0, y_0 - 6)$. Это означает, что ордината каждой точки графика уменьшилась на 6. Такое преобразование является параллельным переносом (сдвигом) графика вдоль оси ординат (оси OY) на 6 единиц вниз.

Ответ: График функции $y = f(x) - 6$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса на 6 единиц вниз вдоль оси OY.