Номер 11.7, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§11. Функция у = cos х, её свойства и график. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 11.7, страница 33.

11.7 а) $y = \cos \left(x + \frac{\pi}{2}\right) + 1;$

б) $y = \cos \left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 2;$

В) $y = \cos \left(x - \frac{\pi}{2}\right) - \frac{1}{2};$

Г) $y = \cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 3.$

а)

Для того чтобы найти область значений функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{2}) + 1$, мы исходим из свойств основной функции косинуса.

Область значений функции $z = \cos(\alpha)$ всегда находится в пределах от $-1$ до $1$ включительно, независимо от её аргумента $\alpha$. В данном случае аргумент равен $x + \frac{\pi}{2}$.

Следовательно, мы можем записать следующее двойное неравенство:

$-1 \le \cos(x + \frac{\pi}{2}) \le 1$

В выражении для функции $y$ к косинусу прибавляется 1. Это соответствует сдвигу всего графика функции вдоль оси ординат (оси Oy) на 1 единицу вверх. Чтобы найти новую область значений, необходимо прибавить 1 ко всем частям неравенства:

$-1 + 1 \le \cos(x + \frac{\pi}{2}) + 1 \le 1 + 1$

Упростив выражения, получаем:

$0 \le y \le 2$

Таким образом, область значений данной функции — это отрезок $[0, 2]$.

Ответ: $[0, 2]$

б)

Рассмотрим функцию $y = \cos(x - \frac{\pi}{3}) + 2$.

Область значений для любой функции вида $z = \cos(\alpha)$ есть отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого $x$ справедливо неравенство:

$-1 \le \cos(x - \frac{\pi}{3}) \le 1$

Данная функция получена из $z = \cos(x - \frac{\pi}{3})$ прибавлением числа 2, что соответствует сдвигу графика на 2 единицы вверх по оси Oy. Чтобы определить область значений функции $y$, прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$-1 + 2 \le \cos(x - \frac{\pi}{3}) + 2 \le 1 + 2$

После вычислений получаем:

$1 \le y \le 3$

Следовательно, область значений функции есть отрезок $[1, 3]$.

Ответ: $[1, 3]$

в)

Найдем область значений для функции $y = \cos(x - \frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2}$.

Основой является функция косинуса, значения которой ограничены отрезком $[-1, 1]$. Поэтому:

$-1 \le \cos(x - \frac{\pi}{2}) \le 1$

Из косинуса вычитается $\frac{1}{2}$, что означает сдвиг графика функции на $\frac{1}{2}$ единицы вниз по оси ординат. Для нахождения новой области значений вычтем $\frac{1}{2}$ из каждой части неравенства:

$-1 - \frac{1}{2} \le \cos(x - \frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2} \le 1 - \frac{1}{2}$

Проведем вычисления, приводя числа к общему знаменателю:

$-\frac{2}{2} - \frac{1}{2} \le y \le \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$-\frac{3}{2} \le y \le \frac{1}{2}$

Таким образом, область значений функции — это отрезок $[-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}]$.

Ответ: $[-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}]$

г)

Определим область значений функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{6}) - 3$.

Мы знаем, что для функции косинуса выполняется следующее свойство:

$-1 \le \cos(\alpha) \le 1$ для любого $\alpha$.

Применим это к нашей функции, где $\alpha = x + \frac{\pi}{6}$:

$-1 \le \cos(x + \frac{\pi}{6}) \le 1$

Функция $y$ получена путем вычитания 3 из функции косинуса, что соответствует сдвигу графика на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. Вычтем 3 из всех частей неравенства, чтобы найти область значений для $y$:

$-1 - 3 \le \cos(x + \frac{\pi}{6}) - 3 \le 1 - 3$

Упростив выражение, получим:

$-4 \le y \le -2$

Следовательно, область значений данной функции — это промежуток $[-4, -2]$.

Ответ: $[-4, -2]$