Номер 11.14, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§11. Функция у = cos х, её свойства и график. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 11.14, страница 34.

11.14 Решите неравенство:

а) $\cos x \ge 1 + |x|$;

б) $2 \cos x \le 2 + x^4.$

а) Рассмотрим неравенство $ \cos x \ge 1 + |x| $.
Для решения этого неравенства воспользуемся методом оценки левой и правой частей.
1. Оценим левую часть. Область значений функции косинуса $ y = \cos x $ — это отрезок $ [-1; 1] $. Это означает, что для любого действительного числа $ x $ выполняется неравенство $ \cos x \le 1 $.
2. Оценим правую часть. По определению, модуль любого числа является неотрицательным, то есть $ |x| \ge 0 $. Следовательно, правая часть неравенства $ 1 + |x| \ge 1 + 0 = 1 $.
Таким образом, мы имеем следующую ситуацию:
Левая часть неравенства ($ \cos x $) всегда меньше или равна 1.
Правая часть неравенства ($ 1 + |x| $) всегда больше или равна 1.
Неравенство $ \cos x \ge 1 + |x| $ может быть истинным только в том случае, когда обе его части равны 1. Это приводит к системе уравнений:
$ \begin{cases} \cos x = 1 \\ 1 + |x| = 1 \end{cases} $
Решим второе уравнение системы:
$ 1 + |x| = 1 \implies |x| = 0 \implies x = 0 $.
Теперь подставим найденное значение $ x = 0 $ в первое уравнение, чтобы проверить, выполняется ли оно:
$ \cos(0) = 1 $.
Равенство верное. Следовательно, $ x = 0 $ является единственным решением системы, а значит и исходного неравенства.
Ответ: $ 0 $.

б) Рассмотрим неравенство $ 2\cos x \le 2 + x^4 $.
Разделим обе части неравенства на положительное число 2, при этом знак неравенства не изменится:
$ \cos x \le 1 + \frac{x^4}{2} $.
Как и в предыдущем задании, применим метод оценки.
1. Оценим левую часть. Максимальное значение функции $ \cos x $ равно 1, то есть для любого действительного $ x $ верно $ \cos x \le 1 $.
2. Оценим правую часть. Выражение $ x^4 $ является неотрицательным для любого действительного $ x $, так как любое число, возведенное в четную степень, неотрицательно: $ x^4 \ge 0 $.
Тогда $ \frac{x^4}{2} \ge 0 $.
Следовательно, правая часть неравенства $ 1 + \frac{x^4}{2} \ge 1 + 0 = 1 $.
Мы установили, что для любого $ x \in \mathbb{R} $:
$ \cos x \le 1 $ и $ 1 \le 1 + \frac{x^4}{2} $.
Объединив эти два факта, получаем цепочку неравенств:
$ \cos x \le 1 \le 1 + \frac{x^4}{2} $.
Отсюда следует, что неравенство $ \cos x \le 1 + \frac{x^4}{2} $ выполняется для всех действительных значений $ x $.
Ответ: $ (-\infty; +\infty) $.