Номер 11.12, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 2. Тригонометрические функции. §11. Функция у = cos х, её свойства и график - номер 11.12, страница 34.

Условие.

11.12 a) $\cos x = \sqrt{x + 1};$

б) $\cos x = \sqrt{x - \frac{\pi}{2}};$

В) $\cos x = -(x - \pi)^2 - 1;$

Г) $\cos x = |x| + 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Решим уравнение $ \cos x = \sqrt{x} + 1 $.

Для решения этого уравнения применим метод оценки. Проанализируем множества значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения.

Функция в левой части уравнения — это $ y = \cos x $. Ее множество значений известно: $ E(\cos x) = [-1, 1] $. Это означает, что для любого действительного числа $ x $ выполняется неравенство $ \cos x \le 1 $.

Функция в правой части уравнения — это $ y = \sqrt{x} + 1 $. Эта функция определена при $ x \ge 0 $. Поскольку арифметический квадратный корень $ \sqrt{x} $ всегда неотрицателен ($ \sqrt{x} \ge 0 $), то $ \sqrt{x} + 1 \ge 1 $. Таким образом, множество значений этой функции $ E(\sqrt{x}+1) = [1, \infty) $.

Для того чтобы равенство $ \cos x = \sqrt{x} + 1 $ было возможным, необходимо, чтобы значения левой и правой частей совпадали. Сравнивая множества значений $ [-1, 1] $ и $ [1, \infty) $, мы видим, что их единственная общая точка — это число 1.

Следовательно, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} \cos x = 1 \\ \sqrt{x} + 1 = 1 \end{cases} $

Решим второе уравнение системы:

$ \sqrt{x} + 1 = 1 \implies \sqrt{x} = 0 \implies x = 0 $.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденное значение $ x = 0 $ первому уравнению системы.

Подставляем $ x = 0 $ в уравнение $ \cos x = 1 $:

$ \cos(0) = 1 $.

Равенство верное. Таким образом, $ x = 0 $ является единственным решением системы, а значит, и исходного уравнения.

Ответ: $ x=0 $.

б) Решим уравнение $ \cos x = \sqrt{x - \frac{\pi}{2}} $.

Рассмотрим области определения и множества значений функций в обеих частях уравнения.

1. Левая часть: $ y = \cos x $. Множество значений $ E(\cos x) = [-1, 1] $.

2. Правая часть: $ y = \sqrt{x - \frac{\pi}{2}} $. Область определения задается условием $ x - \frac{\pi}{2} \ge 0 $, то есть $ x \ge \frac{\pi}{2} $. Множество значений этой функции $ E(\sqrt{x - \frac{\pi}{2}}) = [0, \infty) $.

Для существования решения необходимо, чтобы $ \cos x $ принадлежал множеству значений правой части, то есть $ \cos x \ge 0 $. С учетом множества значений косинуса, получаем $ 0 \le \cos x \le 1 $.

Проверим значение $ x $ на границе области определения, то есть $ x = \frac{\pi}{2} $.

Левая часть: $ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $.

Правая часть: $ \sqrt{\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}} = \sqrt{0} = 0 $.

Поскольку $ 0=0 $, то $ x = \frac{\pi}{2} $ является решением уравнения.

Рассмотрим другие возможные решения при $ x > \frac{\pi}{2} $.

На интервале $ (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] $ значение $ \cos x \le 0 $. В то же время, правая часть $ \sqrt{x - \frac{\pi}{2}} $ строго положительна. Равенство возможно только при $ \cos x = 0 $, что происходит при $ x = \frac{3\pi}{2} $. Но при $ x = \frac{3\pi}{2} $ правая часть равна $ \sqrt{\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2}} = \sqrt{\pi} > 0 $. Значит, на этом интервале других решений нет.

Рассмотрим $ x > \frac{3\pi}{2} $. В этом случае $ x > \frac{3 \cdot 3.14}{2} = 4.71 $.

Значение правой части будет $ \sqrt{x - \frac{\pi}{2}} > \sqrt{\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2}} = \sqrt{\pi} \approx 1.77 $.

Поскольку максимальное значение функции $ \cos x $ равно 1, а правая часть уравнения при $ x > \frac{3\pi}{2} $ всегда больше 1, то равенство между частями уравнения невозможно. Следовательно, других решений нет.

Ответ: $ x=\frac{\pi}{2} $.

в) Решим уравнение $ \cos x = -(x - \pi)^2 - 1 $.

Снова воспользуемся методом оценки множеств значений функций.

1. Левая часть: $ y = \cos x $, множество значений $ E(y) = [-1, 1] $. Отсюда следует, что $ \cos x \ge -1 $.

2. Правая часть: $ y = -(x - \pi)^2 - 1 $. Выражение $ (x-\pi)^2 $ всегда неотрицательно: $ (x-\pi)^2 \ge 0 $. Тогда $ -(x-\pi)^2 \le 0 $, и, следовательно, $ -(x-\pi)^2 - 1 \le -1 $. Таким образом, множество значений правой части $ E(y) = (-\infty, -1] $. Это парабола с вершиной в точке $ (\pi, -1) $, ветви которой направлены вниз.

Равенство $ \cos x = -(x - \pi)^2 - 1 $ возможно только если обе части равны числу, принадлежащему пересечению их множеств значений. Пересечением множеств $ [-1, 1] $ и $ (-\infty, -1] $ является единственное число -1.

Таким образом, исходное уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} \cos x = -1 \\ -(x - \pi)^2 - 1 = -1 \end{cases} $

Решим второе уравнение системы:

$ -(x - \pi)^2 - 1 = -1 \implies -(x - \pi)^2 = 0 \implies (x - \pi)^2 = 0 \implies x = \pi $.

Проверим, является ли $ x = \pi $ решением первого уравнения:

$ \cos(\pi) = -1 $.

Равенство верное. Значит, $ x = \pi $ — единственное решение системы и исходного уравнения.

Ответ: $ x=\pi $.

г) Решим уравнение $ \cos x = |x| + 1 $.

Применим метод оценки, как и в предыдущих случаях.

1. Левая часть: $ y = \cos x $. Множество значений $ E(y) = [-1, 1] $, поэтому $ \cos x \le 1 $.

2. Правая часть: $ y = |x| + 1 $. Модуль числа $ |x| $ всегда неотрицателен: $ |x| \ge 0 $. Отсюда следует, что $ |x| + 1 \ge 1 $. Множество значений правой части $ E(y) = [1, \infty) $.

Для выполнения равенства $ \cos x = |x| + 1 $ необходимо, чтобы значения обеих частей принадлежали пересечению их множеств значений. Пересечение множеств $ [-1, 1] $ и $ [1, \infty) $ состоит из одного числа — 1.

Значит, уравнение эквивалентно системе:

$ \begin{cases} \cos x = 1 \\ |x| + 1 = 1 \end{cases} $

Решим второе уравнение системы:

$ |x| + 1 = 1 \implies |x| = 0 \implies x = 0 $.

Подставим $ x = 0 $ в первое уравнение для проверки:

$ \cos(0) = 1 $.

Равенство верное. Следовательно, $ x = 0 $ — единственное решение.

Ответ: $ x=0 $.