Номер 11.8, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§11. Функция у = cos х, её свойства и график. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 11.8, страница 33.

11.8 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \cos x:$

а) на отрезке $[\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3}];$

в) на луче $[-\frac{\pi}{3}; +\infty);$

б) на интервале $(-\pi; \frac{\pi}{4});$

г) на полуинтервале $[-\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2}).$

а) на отрезке $[\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3}]$

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = \cos x$ на отрезке, нужно проанализировать её поведение на этом отрезке. Отрезок $[\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3}]$ целиком находится внутри промежутка $[0; \pi]$, на котором функция $y = \cos x$ является монотонно убывающей. Это означает, что наибольшее значение функция будет принимать на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

• Наибольшее значение: $y_{наиб} = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Наименьшее значение: $y_{наим} = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.

Ответ: наибольшее значение равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$, наименьшее значение равно $-\frac{1}{2}$.

б) на интервале $(-\pi; \frac{\pi}{4})$

Рассмотрим интервал $(-\pi; \frac{\pi}{4})$. Это открытый интервал, поэтому значения на концах не достигаются. Нужно проверить, есть ли на этом интервале точки локального максимума или минимума.

Функция $y = \cos x$ достигает своего глобального максимума, равного $1$, в точках $x = 2\pi n$, где $n$ — целое число. Точка $x=0$ принадлежит интервалу $(-\pi; \frac{\pi}{4})$. Следовательно, наибольшее значение функции на этом интервале существует и равно $y_{наиб} = \cos(0) = 1$.

Функция $y = \cos x$ достигает своего глобального минимума, равного $-1$, в точках $x = \pi + 2\pi n$. Ни одна из этих точек не принадлежит интервалу $(-\pi; \frac{\pi}{4})$. Посмотрим на поведение функции у границ интервала. При $x$, стремящемся к $-\pi$ справа, значение $\cos x$ стремится к $\cos(-\pi) = -1$. Однако, так как точка $x = -\pi$ не включена в интервал, значение $-1$ никогда не достигается. Таким образом, наименьшего значения у функции на данном интервале не существует.

Ответ: наибольшее значение равно $1$, наименьшего значения не существует.

в) на луче $[-\frac{\pi}{3}; +\infty)$

Область значений функции $y = \cos x$ есть отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого $x$ выполняется неравенство $-1 \le \cos x \le 1$. Нам нужно определить, достигаются ли значения $1$ и $-1$ на луче $[-\frac{\pi}{3}; +\infty)$.

Наибольшее значение, равное $1$, функция принимает при $x=2\pi n$. Например, при $n=0$ получаем $x=0$, что принадлежит лучу $[-\frac{\pi}{3}; +\infty)$. Следовательно, $y_{наиб} = 1$.

Наименьшее значение, равное $-1$, функция принимает при $x=\pi + 2\pi n$. Например, при $n=0$ получаем $x=\pi$, что также принадлежит лучу $[-\frac{\pi}{3}; +\infty)$. Следовательно, $y_{наим} = -1$.

Ответ: наибольшее значение равно $1$, наименьшее значение равно $-1$.

г) на полуинтервале $[-\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2})$

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = \cos x$ на полуинтервале $[-\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2})$, нужно найти значения функции в точках экстремума, принадлежащих этому промежутку, а также на его левом конце.

Точки экстремумов функции $y = \cos x$:

• Точка максимума $x=0$ принадлежит полуинтервалу. Значение в этой точке: $y(0) = \cos(0) = 1$.
• Точка минимума $x=\pi$ принадлежит полуинтервалу. Значение в этой точке: $y(\pi) = \cos(\pi) = -1$.

Значение на левом конце (точка включена): $y(-\frac{\pi}{3}) = \cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Правый конец $x=\frac{3\pi}{2}$ не включен в промежуток, поэтому значение в этой точке не рассматривается.

Сравнивая полученные значения $1$, $-1$ и $\frac{1}{2}$, заключаем, что наибольшее значение функции на данном полуинтервале равно $1$, а наименьшее — $-1$.

Ответ: наибольшее значение равно $1$, наименьшее значение равно $-1$.