Номер 11.10, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§11. Функция у = cos х, её свойства и график. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 11.10, страница 33.

11.10 $f(x) = \begin{cases} \sin x, & \text{если } x \le 0, \\ x^2, & \text{если } 0 < x < \frac{\pi}{2}, \\ \cos x, & \text{если } x \ge \frac{\pi}{2}. \end{cases}$

Для заданной функции $f(x) = \begin{cases} \sin x, & \text{если } x \le 0, \\ x^2, & \text{если } 0 < x < \frac{\pi}{2}, \\ \cos x, & \text{если } x \ge \frac{\pi}{2} \end{cases}$ проведем исследование на непрерывность и дифференцируемость.

Функции $y = \sin x$, $y = x^2$ и $y = \cos x$ являются элементарными и непрерывны на всей своей области определения. Поэтому данная функция $f(x)$ непрерывна и дифференцируема во всех точках, кроме, возможно, точек "стыка" $x=0$ и $x=\frac{\pi}{2}$. Исследуем поведение функции в этих точках.

Исследование на непрерывность

Функция является непрерывной в точке $x=a$, если ее предел в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, то есть $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Это равносильно тому, что односторонние пределы равны между собой и равны значению функции: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.

Проверка в точке $x=0$:
1. Найдём значение функции в точке: $f(0) = \sin(0) = 0$.
2. Найдём левосторонний предел (при $x \to 0^-$, используется ветвь $f(x) = \sin x$):
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \sin x = \sin(0) = 0$.
3. Найдём правосторонний предел (при $x \to 0^+$, используется ветвь $f(x) = x^2$):
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^2 = 0^2 = 0$.
Поскольку $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$, функция непрерывна в точке $x=0$.

Проверка в точке $x=\frac{\pi}{2}$:
1. Найдём значение функции в точке: $f(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
2. Найдём левосторонний предел (при $x \to (\frac{\pi}{2})^-$, используется ветвь $f(x) = x^2$):
$\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-} f(x) = \lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-} x^2 = (\frac{\pi}{2})^2 = \frac{\pi^2}{4}$.
3. Найдём правосторонний предел (при $x \to (\frac{\pi}{2})^+$, используется ветвь $f(x) = \cos x$):
$\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^+} f(x) = \lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^+} \cos x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Поскольку левосторонний и правосторонний пределы не равны ($\frac{\pi^2}{4} \neq 0$), предел функции в точке $x=\frac{\pi}{2}$ не существует. Следовательно, функция имеет разрыв в этой точке. Так как односторонние пределы существуют, но не равны, это разрыв первого рода (скачок).

Ответ: Функция непрерывна для всех $x \in (-\infty, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, +\infty)$. В точке $x=\frac{\pi}{2}$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Исследование на дифференцируемость

Функция дифференцируема в точке $x=a$, если она непрерывна в этой точке и ее левосторонняя производная равна правосторонней производной в этой точке: $f'_-(a) = f'_+(a)$.

Найдем производную функции на каждом из интервалов:
$f'(x) = \begin{cases} (\sin x)' = \cos x, & \text{если } x < 0 \\ (x^2)' = 2x, & \text{если } 0 < x < \frac{\pi}{2} \\ (\cos x)' = -\sin x, & \text{если } x > \frac{\pi}{2} \end{cases}$

Проверка в точке $x=0$:
Функция непрерывна в $x=0$, поэтому она может быть дифференцируема. Сравним односторонние производные:
1. Левосторонняя производная: $f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} (\cos x) = \cos(0) = 1$.
2. Правосторонняя производная: $f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} (2x) = 2 \cdot 0 = 0$.
Так как $f'_-(0) \neq f'_+(0)$, функция не является дифференцируемой в точке $x=0$.

Проверка в точке $x=\frac{\pi}{2}$:
Поскольку функция не является непрерывной в точке $x=\frac{\pi}{2}$, она не может быть и дифференцируемой в этой точке (непрерывность — необходимое условие дифференцируемости).

Ответ: Функция дифференцируема для всех $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, +\infty)$. В точках $x=0$ и $x=\frac{\pi}{2}$ функция недифференцируема. Производная функции имеет вид: $f'(x) = \begin{cases} \cos x, & \text{если } x < 0 \\ 2x, & \text{если } 0 < x < \frac{\pi}{2} \\ -\sin x, & \text{если } x > \frac{\pi}{2} \end{cases}$.