Номер 11.11, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§11. Функция у = cos х, её свойства и график. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 11.11, страница 33.

Решите графически уравнение:

11.11 a) $cos x = x + \frac{\pi}{2};$

б) $-cos x = 3x - 1;$

в) $cos x = 2x + 1;$

г) $cos x = -x + \frac{\pi}{2}.$

а) Чтобы решить уравнение $\cos x = x + \frac{\pi}{2}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \cos x$ и $y = x + \frac{\pi}{2}$.

График функции $y = \cos x$ — это косинусоида, периодическая функция с периодом $2\pi$ и областью значений $[-1; 1]$.

График функции $y = x + \frac{\pi}{2}$ — это прямая линия с угловым коэффициентом $k=1$ и пересечением с осью OY в точке $(0, \frac{\pi}{2})$. Прямая проходит через точки $(-\frac{\pi}{2}, 0)$ и $(0, \frac{\pi}{2})$.

Построим графики.

Из графика видно, что функции имеют одну общую точку. Найдем её координаты. Подставим $x = -\frac{\pi}{2}$ в обе части уравнения:
Левая часть: $\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$.
Правая часть: $-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 0$.
Так как $0=0$, то $x = -\frac{\pi}{2}$ является решением уравнения.

Чтобы доказать, что это единственное решение, сравним производные функций. Производная $y = \cos x$ равна $y' = -\sin x$. Производная $y = x + \frac{\pi}{2}$ равна $y' = 1$. В точке $x = -\frac{\pi}{2}$ производная косинуса равна $-\sin(-\frac{\pi}{2}) = 1$, что равно производной линейной функции. Это означает, что прямая является касательной к косинусоиде в точке $(-\frac{\pi}{2}, 0)$. Поскольку косинусоида является выпуклой вверх при $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ и выпуклой вниз при $x \in (-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2})$, а прямая не меняет своей кривизны, других точек пересечения нет.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2}$.

б) Чтобы решить уравнение $-\cos x = 3x - 1$ графически, преобразуем его к виду $\cos x = 1 - 3x$. Построим в одной системе координат графики функций $y = \cos x$ и $y = 1 - 3x$.

График функции $y = \cos x$ — это косинусоида.

График функции $y = 1 - 3x$ — это прямая линия с угловым коэффициентом $k=-3$ и пересечением с осью OY в точке $(0, 1)$. Прямая проходит через точки $(0, 1)$ и $(\frac{1}{3}, 0)$.

Построим графики.

Очевидно, что графики пересекаются в точке $(0, 1)$, так как при $x=0$:
$\cos(0) = 1$
$1 - 3 \cdot 0 = 1$
Следовательно, $x=0$ является решением уравнения.

Рассмотрим функцию $f(x) = \cos x - (1 - 3x) = \cos x + 3x - 1$. Её производная $f'(x) = -\sin x + 3$. Поскольку $-1 \le \sin x \le 1$, то $f'(x)$ всегда положительна ($2 \le f'(x) \le 4$). Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Строго возрастающая функция может пересекать ось абсцисс (т.е. принимать значение 0) не более одного раза. Так как $f(0)=0$, других корней у уравнения нет.

Ответ: $x = 0$.

в) Чтобы решить уравнение $\cos x = 2x + 1$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \cos x$ и $y = 2x + 1$.

График функции $y = \cos x$ — это косинусоида.

График функции $y = 2x + 1$ — это прямая линия с угловым коэффициентом $k=2$ и пересечением с осью OY в точке $(0, 1)$. Прямая проходит через точки $(0, 1)$ и $(-\frac{1}{2}, 0)$.

Построим графики.

Графики пересекаются в точке $(0, 1)$, так как при $x=0$:
$\cos(0) = 1$
$2 \cdot 0 + 1 = 1$
Следовательно, $x=0$ является решением уравнения.

Рассмотрим функцию $f(x) = \cos x - (2x + 1) = \cos x - 2x - 1$. Её производная $f'(x) = -\sin x - 2$. Поскольку $-1 \le \sin x \le 1$, то $f'(x)$ всегда отрицательна ($-3 \le f'(x) \le -1$). Это означает, что функция $f(x)$ является строго убывающей на всей числовой оси. Строго убывающая функция может иметь не более одного корня. Так как $f(0)=0$, то $x=0$ является единственным решением.

Ответ: $x = 0$.

г) Чтобы решить уравнение $\cos x = -x + \frac{\pi}{2}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \cos x$ и $y = -x + \frac{\pi}{2}$.

График функции $y = \cos x$ — это косинусоида.

График функции $y = -x + \frac{\pi}{2}$ — это прямая линия с угловым коэффициентом $k=-1$ и пересечением с осью OY в точке $(0, \frac{\pi}{2})$. Прямая проходит через точки $(0, \frac{\pi}{2})$ и $(\frac{\pi}{2}, 0)$.

Построим графики.

Из графика видно, что функции имеют одну общую точку. Найдем её координаты, подставив $x = \frac{\pi}{2}$ в обе части уравнения:
Левая часть: $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Правая часть: $-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 0$.
Так как $0=0$, то $x = \frac{\pi}{2}$ является решением уравнения.

Чтобы доказать, что это единственное решение, сравним производные функций. Производная $y = \cos x$ равна $y' = -\sin x$. Производная $y = -x + \frac{\pi}{2}$ равна $y' = -1$. В точке $x = \frac{\pi}{2}$ производная косинуса равна $-\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$, что равно производной линейной функции. Это означает, что прямая является касательной к косинусоиде в точке $(\frac{\pi}{2}, 0)$. Аналогично пункту а), можно показать, что других точек пересечения нет, так как в точке касания происходит смена направления выпуклости косинусоиды.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2}$.