Номер 11.16, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§11. Функция у = cos х, её свойства и график. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 11.16, страница 34.

11.16 Докажите, что функция $y = f(x)$ является нечётной, если:

a) $f(x) = \sin x \cdot \cos x$;

б) $f(x) = x^5 \cdot \cos 3x$;

в) $f(x) = \frac{\cos x^3}{x(25 - x^2)}$;

г) $f(x) = x^{11} \cdot \cos x + \sin x$.

Для того чтобы доказать, что функция $y=f(x)$ является нечётной, необходимо убедиться, что её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

а) $f(x) = \sin x \cdot \cos x$

Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$ (все действительные числа) симметрична относительно нуля. Найдём значение функции для аргумента $-x$, используя свойства нечётности синуса ($\sin(-x) = -\sin x$) и чётности косинуса ($\cos(-x) = \cos x$):

$f(-x) = \sin(-x) \cdot \cos(-x) = (-\sin x) \cdot \cos x = -(\sin x \cdot \cos x) = -f(x)$.

Поскольку условие $f(-x) = -f(x)$ выполняется, функция является нечётной.

Ответ: Функция является нечётной, что и требовалось доказать.

б) $f(x) = x^5 \cdot \cos 3x$

Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$ симметрична относительно нуля. Найдём $f(-x)$, используя свойства степенной функции с нечётным показателем ($(-x)^5 = -x^5$) и чётности функции косинус ($\cos(-3x) = \cos 3x$):

$f(-x) = (-x)^5 \cdot \cos(3(-x)) = (-x^5) \cdot \cos(3x) = -(x^5 \cdot \cos 3x) = -f(x)$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Функция является нечётной, что и требовалось доказать.

в) $f(x) = \frac{\cos x^3}{x(25 - x^2)}$

Найдём область определения функции из условия, что знаменатель не равен нулю: $x(25 - x^2) \neq 0$, что означает $x \neq 0$ и $x \neq \pm 5$. Таким образом, область определения $D(f) = (-\infty; -5) \cup (-5; 0) \cup (0; 5) \cup (5; +\infty)$ является симметричной относительно нуля. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\cos((-x)^3)}{(-x)(25 - (-x)^2)} = \frac{\cos(-x^3)}{-x(25 - x^2)}$.

Так как косинус — чётная функция, $\cos(-x^3) = \cos(x^3)$. Следовательно:

$f(-x) = \frac{\cos x^3}{-x(25 - x^2)} = -\frac{\cos x^3}{x(25 - x^2)} = -f(x)$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Функция является нечётной, что и требовалось доказать.

г) $f(x) = x^{11} \cdot \cos x + \sin x$

Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$ симметрична относительно нуля. Данная функция представляет собой сумму двух функций: $g(x) = x^{11} \cos x$ и $h(x) = \sin x$. Проверим на чётность каждую из них.

Функция $g(x) = x^{11} \cos x$ является произведением нечётной функции ($x^{11}$) и чётной ($\cos x$), поэтому она нечётная: $g(-x) = (-x)^{11} \cos(-x) = (-x^{11}) \cos x = -x^{11} \cos x = -g(x)$.

Функция $h(x) = \sin x$ является нечётной: $h(-x) = \sin(-x) = -\sin x = -h(x)$.

Сумма двух нечётных функций является нечётной функцией. Проверим это для $f(x)$:

$f(-x) = g(-x) + h(-x) = -g(x) - h(x) = -(g(x) + h(x)) = -f(x)$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Функция является нечётной, что и требовалось доказать.