Номер 12.6, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§12. Периодичность функций у = sin x, y = cos х. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 12.6, страница 36.

12.6 а) $\sin 50,5\pi$;

б) $\sin 51,75\pi$;

В) $\sin 25,25\pi$;

Г) $\sin 29,5\pi$.

Для решения данных задач мы воспользуемся свойством периодичности функции синус: $sin(x + 2\pi k) = sin(x)$, где $k$ — любое целое число. Это свойство позволяет нам упростить аргумент функции, вычитая или добавляя целое число полных оборотов ($2\pi$).

а) sin(50,5π)

Представим аргумент $50,5\pi$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно $2\pi$.

$50,5\pi = 50\pi + 0,5\pi$

Число $50\pi$ является произведением $25 \cdot 2\pi$. Следовательно, мы можем упростить выражение, используя свойство периодичности:

$sin(50,5\pi) = sin(50\pi + 0,5\pi) = sin(0,5\pi)$

Вычисляем значение $sin(0,5\pi)$, что то же самое, что и $sin(\frac{\pi}{2})$:

$sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Ответ: 1.

б) sin(51,75π)

Представим аргумент $51,75\pi$, выделив слагаемое, кратное $2\pi$.

$51,75\pi = 50\pi + 1,75\pi$

Так как $50\pi = 25 \cdot 2\pi$, мы можем его отбросить:

$sin(51,75\pi) = sin(50\pi + 1,75\pi) = sin(1,75\pi)$

Преобразуем $1,75\pi$ в обыкновенную дробь: $1,75\pi = \frac{7}{4}\pi$. Теперь вычислим $sin(\frac{7\pi}{4})$.

Используя формулы приведения, представим $\frac{7\pi}{4}$ как $2\pi - \frac{\pi}{4}$:

$sin(\frac{7\pi}{4}) = sin(2\pi - \frac{\pi}{4}) = sin(-\frac{\pi}{4})$

Функция синус является нечетной, то есть $sin(-x) = -sin(x)$, поэтому:

$sin(-\frac{\pi}{4}) = -sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) sin(25,25π)

Упростим аргумент $25,25\pi$.

$25,25\pi = 24\pi + 1,25\pi$

Так как $24\pi = 12 \cdot 2\pi$, получаем:

$sin(25,25\pi) = sin(24\pi + 1,25\pi) = sin(1,25\pi)$

Преобразуем $1,25\pi$ в обыкновенную дробь: $1,25\pi = \frac{5}{4}\pi$. Вычислим $sin(\frac{5\pi}{4})$.

Используя формулы приведения, представим $\frac{5\pi}{4}$ как $\pi + \frac{\pi}{4}$:

$sin(\frac{5\pi}{4}) = sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -sin(\frac{\pi}{4})$

Так как $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:

$-sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) sin(29,5π)

Упростим аргумент $29,5\pi$.

$29,5\pi = 28\pi + 1,5\pi$

Так как $28\pi = 14 \cdot 2\pi$, получаем:

$sin(29,5\pi) = sin(28\pi + 1,5\pi) = sin(1,5\pi)$

Вычисляем значение $sin(1,5\pi)$, что то же самое, что и $sin(\frac{3\pi}{2})$:

$sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$

Ответ: -1.