Номер 12.9, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§12. Периодичность функций у = sin x, y = cos х. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 12.9, страница 36.

12.9 Решите уравнение:

а) $sin(x + 2\pi) + sin(x - 4\pi) = 1;$

б) $3cos(2\pi + x) + cos(x - 2\pi) + 2 = 0;$

в) $sin(x + 4\pi) + sin(x - 6\pi) = \sqrt{3};$

г) $cos(x + 2\pi) + cos(x - 8\pi) = \sqrt{2}.$

а) $\sin(x + 2\pi) + \sin(x - 4\pi) = 1$
Основное свойство функции синус — ее периодичность с периодом $2\pi$. Это означает, что для любого целого числа $k$ выполняется равенство $\sin(\alpha + 2\pi k) = \sin(\alpha)$.
Применим это свойство для упрощения каждого слагаемого в левой части уравнения:
$\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ (здесь $k=1$)
$\sin(x - 4\pi) = \sin(x - 2 \cdot 2\pi) = \sin(x)$ (здесь $k=-2$)
Подставим упрощенные выражения обратно в уравнение:
$\sin(x) + \sin(x) = 1$
$2\sin(x) = 1$
$\sin(x) = \frac{1}{2}$
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решения находятся по общей формуле:
$x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, получаем:
$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $3\cos(2\pi + x) + \cos(x - 2\pi) + 2 = 0$
Функция косинус также периодична с периодом $2\pi$, то есть $\cos(\alpha + 2\pi k) = \cos(\alpha)$ для любого целого $k$.
Упростим члены уравнения:
$\cos(2\pi + x) = \cos(x)$ (здесь $k=1$)
$\cos(x - 2\pi) = \cos(x)$ (здесь $k=-1$)
Подставим в исходное уравнение:
$3\cos(x) + \cos(x) + 2 = 0$
$4\cos(x) + 2 = 0$
$4\cos(x) = -2$
$\cos(x) = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$
Общая формула для решения уравнения $\cos(x)=a$ имеет вид $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.
$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $\sin(x + 4\pi) + \sin(x - 6\pi) = \sqrt{3}$
Используем свойство периодичности функции синус ($\sin(\alpha + 2\pi k) = \sin(\alpha)$):
$\sin(x + 4\pi) = \sin(x + 2 \cdot 2\pi) = \sin(x)$
$\sin(x - 6\pi) = \sin(x - 3 \cdot 2\pi) = \sin(x)$
После подстановки уравнение принимает вид:
$\sin(x) + \sin(x) = \sqrt{3}$
$2\sin(x) = \sqrt{3}$
$\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Находим корни по общей формуле:
$x = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:
$x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $\cos(x + 2\pi) + \cos(x - 8\pi) = \sqrt{2}$
Используем свойство периодичности функции косинус ($\cos(\alpha + 2\pi k) = \cos(\alpha)$):
$\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$
$\cos(x - 8\pi) = \cos(x - 4 \cdot 2\pi) = \cos(x)$
Подставляем упрощенные выражения в уравнение:
$\cos(x) + \cos(x) = \sqrt{2}$
$2\cos(x) = \sqrt{2}$
$\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Решаем простейшее уравнение, используя общую формулу:
$x = \pm \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, итоговый ответ:
$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.