Номер 13.4, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

13.4 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = -3\sin x:$

а) на луче $[0; +\infty);$

б) на открытом луче $(-\infty; \frac{\pi}{2});$

в) на луче $[\frac{\pi}{4}; +\infty);$

г) на открытом луче $(-\infty; 0).$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = -3\sin x$ на различных промежутках, сначала определим ее общую область значений. Известно, что область значений синуса: $-1 \le \sin x \le 1$. Умножив это неравенство на -3, получим (с изменением знаков неравенства):
$(-3) \cdot 1 \le (-3) \cdot \sin x \le (-3) \cdot (-1)$
$-3 \le -3\sin x \le 3$
Таким образом, область значений функции $y = -3\sin x$ есть отрезок $[-3; 3]$.
Наибольшее значение, равное 3, функция принимает, когда $\sin x = -1$, то есть при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Наименьшее значение, равное -3, функция принимает, когда $\sin x = 1$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь проанализируем каждый из заданных промежутков.

а) На луче $[0; +\infty)$.
Проверим, достигаются ли на этом луче наибольшее и наименьшее значения.
1. Наибольшее значение $y=3$ достигается при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Проверим, есть ли такие $x$ в промежутке $[0; +\infty)$. Решим неравенство:$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \ge 0 \implies 2\pi n \ge \frac{\pi}{2} \implies n \ge \frac{1}{4}$.Так как $n$ — целое число, подходят значения $n=1, 2, 3, \ldots$. Например, при $n=1$, $x = \frac{3\pi}{2}$, что принадлежит лучу $[0; +\infty)$. Следовательно, наибольшее значение на данном луче достигается и равно 3.
2. Наименьшее значение $y=-3$ достигается при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Проверим, есть ли такие $x$ в промежутке $[0; +\infty)$. Решим неравенство:$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \ge 0 \implies 2\pi n \ge -\frac{\pi}{2} \implies n \ge -\frac{1}{4}$.Так как $n$ — целое число, подходят значения $n=0, 1, 2, \ldots$. Например, при $n=0$, $x = \frac{\pi}{2}$, что принадлежит лучу $[0; +\infty)$. Следовательно, наименьшее значение на данном луче достигается и равно -3.
Ответ: наибольшее значение 3, наименьшее значение -3.

б) На открытом луче $(-\infty; \frac{\pi}{2})$.
Проверим, достигаются ли на этом луче наибольшее и наименьшее значения.
1. Наибольшее значение $y=3$ ($\sin x = -1$) достигается при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Проверим, есть ли такие $x$ в промежутке $(-\infty; \frac{\pi}{2})$. Решим неравенство:$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n < \frac{\pi}{2} \implies 2\pi n < \pi \implies n < \frac{1}{2}$.Так как $n$ — целое число, подходят значения $n=0, -1, -2, \ldots$. Например, при $n=0$, $x = -\frac{\pi}{2}$, что принадлежит лучу $(-\infty; \frac{\pi}{2})$. Следовательно, наибольшее значение на данном луче достигается и равно 3.
2. Наименьшее значение $y=-3$ ($\sin x = 1$) достигается при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Проверим, есть ли такие $x$ в промежутке $(-\infty; \frac{\pi}{2})$. Решим неравенство:$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n < \frac{\pi}{2} \implies 2\pi n < 0 \implies n < 0$.Так как $n$ — целое число, подходят значения $n=-1, -2, \ldots$. Например, при $n=-1$, $x = -\frac{3\pi}{2}$, что принадлежит лучу $(-\infty; \frac{\pi}{2})$. Следовательно, наименьшее значение на данном луче достигается и равно -3.
Ответ: наибольшее значение 3, наименьшее значение -3.

в) На луче $[\frac{\pi}{4}; +\infty)$.
Проверим, достигаются ли на этом луче наибольшее и наименьшее значения.
1. Наибольшее значение $y=3$ ($\sin x = -1$) достигается при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Проверим, есть ли такие $x$ в промежутке $[\frac{\pi}{4}; +\infty)$. Решим неравенство:$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \ge \frac{\pi}{4} \implies 2\pi n \ge \frac{3\pi}{4} \implies n \ge \frac{3}{8}$.Так как $n$ — целое число, подходят значения $n=1, 2, 3, \ldots$. Например, при $n=1$, $x = \frac{3\pi}{2}$, что принадлежит лучу $[\frac{\pi}{4}; +\infty)$. Следовательно, наибольшее значение на данном луче достигается и равно 3.
2. Наименьшее значение $y=-3$ ($\sin x = 1$) достигается при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Проверим, есть ли такие $x$ в промежутке $[\frac{\pi}{4}; +\infty)$. Решим неравенство:$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \ge \frac{\pi}{4} \implies 2\pi n \ge -\frac{\pi}{4} \implies n \ge -\frac{1}{8}$.Так как $n$ — целое число, подходят значения $n=0, 1, 2, \ldots$. Например, при $n=0$, $x = \frac{\pi}{2}$, что принадлежит лучу $[\frac{\pi}{4}; +\infty)$. Следовательно, наименьшее значение на данном луче достигается и равно -3.
Ответ: наибольшее значение 3, наименьшее значение -3.

г) На открытом луче $(-\infty; 0)$.
Проверим, достигаются ли на этом луче наибольшее и наименьшее значения.
1. Наибольшее значение $y=3$ ($\sin x = -1$) достигается при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Проверим, есть ли такие $x$ в промежутке $(-\infty; 0)$. Решим неравенство:$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n < 0 \implies 2\pi n < \frac{\pi}{2} \implies n < \frac{1}{4}$.Так как $n$ — целое число, подходят значения $n=0, -1, -2, \ldots$. Например, при $n=0$, $x = -\frac{\pi}{2}$, что принадлежит лучу $(-\infty; 0)$. Следовательно, наибольшее значение на данном луче достигается и равно 3.
2. Наименьшее значение $y=-3$ ($\sin x = 1$) достигается при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Проверим, есть ли такие $x$ в промежутке $(-\infty; 0)$. Решим неравенство:$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n < 0 \implies 2\pi n < -\frac{\pi}{2} \implies n < -\frac{1}{4}$.Так как $n$ — целое число, подходят значения $n=-1, -2, \ldots$. Например, при $n=-1$, $x = -\frac{3\pi}{2}$, что принадлежит лучу $(-\infty; 0)$. Следовательно, наименьшее значение на данном луче достигается и равно -3.
Ответ: наибольшее значение 3, наименьшее значение -3.