Номер 13.3, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§13. Преобразование графиков тригонометрических функций. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 13.3, страница 37.

13.3 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2 \cos x:$

а) на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$;

б) на интервале $(0; \frac{3\pi}{2})$;

в) на полуинтервале $[\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2})$;

г) на отрезке $[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{4}]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = 2 \cos x$ на заданных промежутках, мы будем использовать следующий алгоритм:

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки функции (где производная равна нулю или не существует) и выбрать те, которые попадают в заданный промежуток.
3. Вычислить значения функции в найденных критических точках и на концах промежутка (если они включены).
4. Среди всех полученных значений выбрать наибольшее (max) и наименьшее (min). Для открытых и полуоткрытых интервалов нужно также проанализировать поведение функции на границах.

Производная функции $y = 2 \cos x$ равна $y' = (2 \cos x)' = -2 \sin x$.

Критические точки находим из уравнения $y' = 0 \implies -2 \sin x = 0 \implies \sin x = 0$.

Решениями этого уравнения являются точки $x = k\pi$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

а) на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$

1. Найдём критические точки, принадлежащие отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Из всех точек вида $x = k\pi$ данному отрезку принадлежит только точка $x = 0$ (при $k=0$).

2. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
$y(0) = 2 \cos(0) = 2 \cdot 1 = 2$.
$y(-\frac{\pi}{2}) = 2 \cos(-\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 0 = 0$.
$y(\frac{\pi}{2}) = 2 \cos(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 0 = 0$.

3. Сравнивая значения $\{2, 0\}$, находим наибольшее и наименьшее.
Ответ: наибольшее значение $y_{max} = 2$, наименьшее значение $y_{min} = 0$.

б) на интервале $(0; \frac{3\pi}{2})$

1. Найдём критические точки, принадлежащие интервалу $(0; \frac{3\pi}{2})$.
Из точек $x = k\pi$ данному интервалу принадлежит только $x = \pi$ (при $k=1$).

2. Вычислим значение функции в этой точке:
$y(\pi) = 2 \cos(\pi) = 2 \cdot (-1) = -2$.

3. Интервал является открытым, поэтому значения на его концах не достигаются. Проанализируем поведение функции на границах интервала:
При $x \to 0^+$, $y \to 2 \cos(0) = 2$.
При $x \to (\frac{3\pi}{2})^-$, $y \to 2 \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.

4. На интервале $(0, \pi]$ функция убывает от значения, близкого к 2, до -2. На интервале $[\pi, \frac{3\pi}{2})$ функция возрастает от -2 до значения, близкого к 0. Таким образом, наименьшее значение достигается в точке $x=\pi$, а наибольшее значение не достигается.
Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -2$, наибольшего значения не существует.

в) на полуинтервале $[\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2})$

1. Найдём критические точки, принадлежащие полуинтервалу $[\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2})$.
Интервалу принадлежит точка $x = \pi$ (при $k=1$).

2. Вычислим значения функции в критической точке и на левом конце полуинтервала. Также рассмотрим предел на правом (открытом) конце.
$y(\frac{\pi}{3}) = 2 \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.
$y(\pi) = 2 \cos(\pi) = 2 \cdot (-1) = -2$.
При $x \to (\frac{3\pi}{2})^-$, $y \to 2 \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.

3. Сравниваем вычисленные значения $\{1, -2\}$ и предел $0$. Наибольшее из достижимых значений равно 1, а наименьшее равно -2.
Ответ: наибольшее значение $y_{max} = 1$, наименьшее значение $y_{min} = -2$.

г) на отрезке $[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{4}]$

1. Найдём критические точки, принадлежащие отрезку $[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{4}]$.
Из точек $x=k\pi$ отрезку принадлежит $x = -\pi$ (при $k=-1$).

2. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
$y(-\frac{3\pi}{2}) = 2 \cos(-\frac{3\pi}{2}) = 2 \cdot 0 = 0$.
$y(-\pi) = 2 \cos(-\pi) = 2 \cdot (-1) = -2$.
$y(-\frac{\pi}{4}) = 2 \cos(-\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

3. Сравнивая значения $\{0, -2, \sqrt{2}\}$, находим наибольшее и наименьшее. (Заметим, что $\sqrt{2} \approx 1.414$).
Ответ: наибольшее значение $y_{max} = \sqrt{2}$, наименьшее значение $y_{min} = -2$.