Номер 12.12, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§12. Периодичность функций у = sin x, y = cos х. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 12.12, страница 36.

12.12 Преобразуйте заданное выражение ($ \sin t $ или $ \cos t $) к виду $ \sin t_0 $ или $ \cos t_0 $ так, чтобы выполнялось соотношение $ 0 < t_0 < 2\pi $:

a) $ \sin 8 $;

б) $ \cos(-10) $;

в) $ \sin(-25) $;

г) $ \cos 35 $.

а)

Используем свойство периодичности функции синус: $sin(t) = sin(t + 2k\pi)$, где $k$ – любое целое число. Наша задача — найти такое целое $k$, чтобы для $t=8$ новое значение аргумента $t_0 = 8 + 2k\pi$ удовлетворяло условию $0 < t_0 < 2\pi$.

Для этого решим двойное неравенство относительно $k$:
$0 < 8 + 2k\pi < 2\pi$
Вычтем 8 из всех частей неравенства:
$-8 < 2k\pi < 2\pi - 8$
Разделим все части на $2\pi$:
$-\frac{8}{2\pi} < k < \frac{2\pi - 8}{2\pi}$
$-\frac{4}{\pi} < k < 1 - \frac{4}{\pi}$

Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14159$:
$-\frac{4}{3,14159} < k < 1 - \frac{4}{3,14159}$
$-1,273 < k < 1 - 1,273$
$-1,273 < k < -0,273$

Единственное целое число $k$ в этом интервале — это $k = -1$.
Теперь найдем $t_0$, подставив $k=-1$:
$t_0 = 8 + 2(-1)\pi = 8 - 2\pi$.
Таким образом, $sin(8) = sin(8 - 2\pi)$. Убедимся, что $t_0$ лежит в заданном интервале:
$8 - 2\pi \approx 8 - 6,283 = 1,717$.
Неравенство $0 < 1,717 < 2\pi$ выполняется.

Ответ: $sin(8 - 2\pi)$.

б)

Используем свойство периодичности функции косинус: $cos(t) = cos(t + 2k\pi)$, где $k$ – любое целое число. Для $t=-10$ найдем такое целое $k$, чтобы $t_0 = -10 + 2k\pi$ удовлетворяло условию $0 < t_0 < 2\pi$.
Примечание: можно было бы использовать свойство четности косинуса $cos(-10)=cos(10)$, но мы решим задачу в общем виде.

Решим неравенство относительно $k$:
$0 < -10 + 2k\pi < 2\pi$
Прибавим 10 ко всем частям:
$10 < 2k\pi < 10 + 2\pi$
Разделим все части на $2\pi$:
$\frac{10}{2\pi} < k < \frac{10 + 2\pi}{2\pi}$
$\frac{5}{\pi} < k < \frac{5}{\pi} + 1$

Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14159$:
$\frac{5}{3,14159} < k < \frac{5}{3,14159} + 1$
$1,592 < k < 1,592 + 1$
$1,592 < k < 2,592$

Единственное целое число $k$ в этом интервале — это $k = 2$.
Найдем $t_0$:
$t_0 = -10 + 2(2)\pi = 4\pi - 10$.
Следовательно, $cos(-10) = cos(4\pi - 10)$. Проверим интервал для $t_0$:
$4\pi - 10 \approx 4 \cdot 3,14159 - 10 = 12,566 - 10 = 2,566$.
Неравенство $0 < 2,566 < 2\pi$ выполняется.

Ответ: $cos(4\pi - 10)$.

в)

Используем свойство периодичности функции синус: $sin(t) = sin(t + 2k\pi)$, где $k$ – любое целое число. Для $t=-25$ найдем такое целое $k$, чтобы $t_0 = -25 + 2k\pi$ удовлетворяло условию $0 < t_0 < 2\pi$.

Решим неравенство относительно $k$:
$0 < -25 + 2k\pi < 2\pi$
$25 < 2k\pi < 25 + 2\pi$
$\frac{25}{2\pi} < k < \frac{25}{2\pi} + 1$

Используем приближенное значение $2\pi \approx 6,283$:
$\frac{25}{6,283} < k < \frac{25}{6,283} + 1$
$3,979 < k < 3,979 + 1$
$3,979 < k < 4,979$

Единственное целое число $k$ в этом интервале — это $k = 4$.
Найдем $t_0$:
$t_0 = -25 + 2(4)\pi = 8\pi - 25$.
Таким образом, $sin(-25) = sin(8\pi - 25)$. Проверим интервал для $t_0$:
$8\pi - 25 \approx 8 \cdot 3,14159 - 25 = 25,133 - 25 = 0,133$.
Неравенство $0 < 0,133 < 2\pi$ выполняется.

Ответ: $sin(8\pi - 25)$.

г)

Используем свойство периодичности функции косинус: $cos(t) = cos(t + 2k\pi)$, где $k$ – любое целое число. Для $t=35$ найдем такое целое $k$, чтобы $t_0 = 35 + 2k\pi$ удовлетворяло условию $0 < t_0 < 2\pi$.

Решим неравенство относительно $k$:
$0 < 35 + 2k\pi < 2\pi$
$-35 < 2k\pi < 2\pi - 35$
$-\frac{35}{2\pi} < k < \frac{2\pi - 35}{2\pi}$
$-\frac{35}{2\pi} < k < 1 - \frac{35}{2\pi}$

Используем приближенное значение $2\pi \approx 6,283$:
$-\frac{35}{6,283} < k < 1 - \frac{35}{6,283}$
$-5,57 < k < 1 - 5,57$
$-5,57 < k < -4,57$

Единственное целое число $k$ в этом интервале — это $k = -5$.
Найдем $t_0$:
$t_0 = 35 + 2(-5)\pi = 35 - 10\pi$.
Следовательно, $cos(35) = cos(35 - 10\pi)$. Проверим интервал для $t_0$:
$35 - 10\pi \approx 35 - 10 \cdot 3,14159 = 35 - 31,416 = 3,584$.
Неравенство $0 < 3,584 < 2\pi$ выполняется.

Ответ: $cos(35 - 10\pi)$.