Номер 12.7, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§12. Периодичность функций у = sin x, y = cos х. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 12.7, страница 36.

12.7 a) $\sin 390^{\circ}$;

б) $\cos 750^{\circ}$;

в) $\sin 540^{\circ}$;

г) $\cos 930^{\circ}$.

а) Для вычисления значения $\sin 390^\circ$ воспользуемся свойством периодичности функции синус. Период синуса составляет $360^\circ$, поэтому для любого угла $\alpha$ и целого числа $k$ справедливо равенство $\sin(\alpha + 360^\circ \cdot k) = \sin(\alpha)$.

Представим угол $390^\circ$ в виде суммы полного оборота ($360^\circ$) и остатка: $390^\circ = 360^\circ \cdot 1 + 30^\circ$. Применив свойство периодичности, получаем: $\sin 390^\circ = \sin(360^\circ + 30^\circ) = \sin 30^\circ$.

Значение $\sin 30^\circ$ является известным табличным значением, которое равно $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Для вычисления значения $\cos 750^\circ$ воспользуемся свойством периодичности функции косинус. Период косинуса составляет $360^\circ$, поэтому для любого угла $\alpha$ и целого числа $k$ справедливо равенство $\cos(\alpha + 360^\circ \cdot k) = \cos(\alpha)$.

Представим угол $750^\circ$ в виде суммы нескольких полных оборотов и остатка. Поскольку $750 = 2 \cdot 360 + 30$, мы можем записать: $750^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 30^\circ$. Применив свойство периодичности, получаем: $\cos 750^\circ = \cos(2 \cdot 360^\circ + 30^\circ) = \cos 30^\circ$.

Значение $\cos 30^\circ$ является известным табличным значением, которое равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

в) Для вычисления значения $\sin 540^\circ$ воспользуемся свойством периодичности функции синус, период которой равен $360^\circ$.

Представим угол $540^\circ$ в виде суммы полного оборота ($360^\circ$) и остатка: $540^\circ = 360^\circ + 180^\circ$. Согласно свойству периодичности: $\sin 540^\circ = \sin(360^\circ + 180^\circ) = \sin 180^\circ$.

Значение $\sin 180^\circ$ равно $0$.

Ответ: $0$

г) Для вычисления значения $\cos 930^\circ$ воспользуемся свойством периодичности функции косинус, период которой равен $360^\circ$.

Представим угол $930^\circ$ в виде суммы нескольких полных оборотов и остатка. Поскольку $930 = 2 \cdot 360 + 210$, мы можем записать: $930^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 210^\circ$. Применив свойство периодичности, получаем: $\cos 930^\circ = \cos(2 \cdot 360^\circ + 210^\circ) = \cos 210^\circ$.

Для нахождения значения $\cos 210^\circ$ воспользуемся формулами приведения. Угол $210^\circ$ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. Представим $210^\circ$ как $180^\circ + 30^\circ$. По формуле приведения $\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos \alpha$, имеем: $\cos 210^\circ = \cos(180^\circ + 30^\circ) = -\cos 30^\circ$.

Так как табличное значение $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то итоговое значение равно $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$