Номер 12.8, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§12. Периодичность функций у = sin x, y = cos х. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 12.8, страница 36.

12.8 Докажите тождество:

a) $\sin^2(x - 8\pi) = 1 - \cos^2(16\pi - x)$;

б) $\cos^2(4\pi + x) = 1 - \sin^2(22\pi - x)$.

а) Для доказательства тождества $ \sin^2(x - 8\pi) = 1 - \cos^2(16\pi - x) $ преобразуем его левую и правую части по отдельности, используя свойства тригонометрических функций.

1. Преобразуем левую часть: $ \sin^2(x - 8\pi) $.
Функция синус является периодической с основным периодом $ 2\pi $. Это означает, что $ \sin(\alpha + 2\pi k) = \sin(\alpha) $ для любого целого $ k $. Поскольку $ -8\pi = -4 \cdot 2\pi $, мы можем отбросить это слагаемое в аргументе функции:
$ \sin(x - 8\pi) = \sin(x) $.
Следовательно, левая часть тождества равна:
$ \sin^2(x - 8\pi) = (\sin(x))^2 = \sin^2(x) $.

2. Преобразуем правую часть: $ 1 - \cos^2(16\pi - x) $.
Функция косинус также периодична с периодом $ 2\pi $ ($ \cos(\alpha + 2\pi k) = \cos(\alpha) $) и является чётной ($ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $). Поскольку $ 16\pi = 8 \cdot 2\pi $, получаем:
$ \cos(16\pi - x) = \cos(-x + 16\pi) = \cos(-x) = \cos(x) $.
Следовательно, правая часть тождества равна:
$ 1 - \cos^2(16\pi - x) = 1 - (\cos(x))^2 = 1 - \cos^2(x) $.

3. Сравним полученные выражения.
В результате преобразований мы свели исходное равенство к виду: $ \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) $. Данное равенство является верным, так как оно напрямую следует из основного тригонометрического тождества $ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $.
Ответ: тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $ \cos^2(4\pi + x) = 1 - \sin^2(22\pi - x) $ также преобразуем обе его части.

1. Преобразуем левую часть: $ \cos^2(4\pi + x) $.
Используя свойство периодичности функции косинус и то, что $ 4\pi = 2 \cdot 2\pi $:
$ \cos(4\pi + x) = \cos(x) $.
Следовательно, левая часть тождества равна:
$ \cos^2(4\pi + x) = (\cos(x))^2 = \cos^2(x) $.

2. Преобразуем правую часть: $ 1 - \sin^2(22\pi - x) $.
Используя свойство периодичности функции синус ($ 22\pi = 11 \cdot 2\pi $) и её нечётность ($ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $):
$ \sin(22\pi - x) = \sin(-x + 22\pi) = \sin(-x) = -\sin(x) $.
Следовательно, правая часть тождества равна:
$ 1 - \sin^2(22\pi - x) = 1 - (-\sin(x))^2 = 1 - \sin^2(x) $.

3. Сравним полученные выражения.
В результате преобразований мы получили равенство: $ \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) $. Это равенство также является верным, так как следует из основного тригонометрического тождества $ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $.
Ответ: тождество доказано.