Номер 12.11, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§12. Периодичность функций у = sin x, y = cos х. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 12.11, страница 36.

12.11 Вычислите:

a) $cos(t + 4\pi)$, если $cos(2\pi - t) = -\frac{3}{5}$;

б) $sin(32\pi - t)$, если $sin(2\pi - t) = \frac{5}{13}$.

а)

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами тригонометрических функций, а именно их периодичностью и формулами приведения.

1. Функция косинус является периодической с основным периодом $2\pi$. Это означает, что добавление к аргументу числа, кратного $2\pi$, не меняет значение функции. В нашем случае $4\pi = 2 \cdot 2\pi$.

Следовательно, мы можем упростить искомое выражение:

$cos(t + 4\pi) = cos(t + 2 \cdot 2\pi) = cos(t)$

Таким образом, задача сводится к нахождению значения $cos(t)$.

2. Теперь воспользуемся данным условием: $cos(2\pi - t) = -\frac{3}{5}$.

Применим формулу приведения для косинуса: $cos(2\pi - \alpha) = cos(\alpha)$. Это следует из того, что косинус — чётная функция ($cos(-\alpha) = cos(\alpha)$) и имеет период $2\pi$.

В нашем случае:

$cos(2\pi - t) = cos(t)$

3. Сопоставляя условие и свойство функции, получаем:

$cos(t) = cos(2\pi - t) = -\frac{3}{5}$

4. Поскольку мы установили, что $cos(t + 4\pi) = cos(t)$, то окончательный результат будет:

$cos(t + 4\pi) = -\frac{3}{5}$

Ответ: $-\frac{3}{5}$

б)

Для решения этой задачи также воспользуемся свойствами периодичности тригонометрических функций и формулами приведения.

1. Функция синус является периодической с основным периодом $2\pi$. Упростим искомое выражение, используя это свойство. Заметим, что $32\pi = 16 \cdot 2\pi$.

$sin(32\pi - t) = sin(-t + 16 \cdot 2\pi) = sin(-t)$

2. Синус является нечетной функцией, что означает $sin(-x) = -sin(x)$. Применив это свойство, получаем:

$sin(-t) = -sin(t)$

Таким образом, $sin(32\pi - t) = -sin(t)$. Задача сводится к нахождению значения $-sin(t)$.

3. Теперь рассмотрим данное условие: $sin(2\pi - t) = \frac{5}{13}$.

Применим формулу приведения для синуса: $sin(2\pi - \alpha) = -sin(\alpha)$.

Следовательно:

$sin(2\pi - t) = -sin(t)$

4. Из условия мы знаем, что $sin(2\pi - t) = \frac{5}{13}$. А из формулы приведения мы знаем, что $sin(2\pi - t) = -sin(t)$.

Значит, $-sin(t) = \frac{5}{13}$.

5. Возвращаясь к нашему искомому выражению, получаем:

$sin(32\pi - t) = -sin(t) = \frac{5}{13}$

Ответ: $\frac{5}{13}$