Номер 12.5, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§12. Периодичность функций у = sin x, y = cos х. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 12.5, страница 36.

12.5 Является ли число $32\pi$ периодом функции $y = \sin x$, $y = \cos x$? А основным периодом?

Вычислите, преобразовав заданное выражение ($\sin t$ или $\cos t$) к виду $\sin t_0$ или $\cos t_0$ так, чтобы выполнялось соотношение $0 < t_0 < 2\pi$ или $0 < t_0 < 360^\circ$.

Является ли число 32π периодом функции y = sinx, y = cosx?
По определению, число $T \neq 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
Основной (наименьший положительный) период для функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ равен $2\pi$. Это означает, что для любого целого числа $k$ справедливы равенства:
$\sin(x + 2\pi k) = \sin x$
$\cos(x + 2\pi k) = \cos x$
Следовательно, любое число вида $T = 2\pi k$, где $k$ - целое и не равное нулю число, также является периодом этих функций.
Рассмотрим число $32\pi$. Мы можем представить его в виде $16 \cdot 2\pi$. В данном случае $k=16$, что является целым числом.
Поэтому для функции $y = \sin x$ выполняется:
$\sin(x + 32\pi) = \sin(x + 16 \cdot 2\pi) = \sin x$
И для функции $y = \cos x$ выполняется:
$\cos(x + 32\pi) = \cos(x + 16 \cdot 2\pi) = \cos x$
Таким образом, число $32\pi$ является периодом для обеих функций.
Ответ: Да, число 32π является периодом для функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$.

А основным периодом?
Основным периодом функции называется наименьший положительный из всех её периодов.
Как было сказано выше, для функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ основной период равен $T_0 = 2\pi$.
Сравним число $32\pi$ с основным периодом $2\pi$:
$32\pi > 2\pi$
Поскольку существует положительный период $2\pi$, который меньше, чем $32\pi$, число $32\pi$ не является наименьшим положительным периодом.
Ответ: Нет, число 32π не является основным периодом для функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$.