Номер 11.15, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§11. Функция у = cos х, её свойства и график. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 11.15, страница 34.

11.15 Докажите, что функция $y = f(x)$ является чётной, если:

a) $f(x) = x^2 \cdot \cos x$;

б) $f(x) = \frac{\cos x^3}{4 - x^2}$;

в) $f(x) = \frac{\cos 5x + 1}{|x|}$;

г) $f(x) = (4 + \cos x)(\sin^6 x - 1)$.

Функция $y=f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Также область определения чётной функции должна быть симметрична относительно начала координат.

а) $f(x) = x^2 \cdot \cos x$

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как функции $y=x^2$ и $y=\cos x$ определены для всех действительных чисел. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$:

$f(-x) = (-x)^2 \cdot \cos(-x)$

Поскольку $(-x)^2 = x^2$ (свойство степени с чётным показателем) и $\cos(-x) = \cos x$ (так как функция косинус является чётной), получаем:

$f(-x) = x^2 \cdot \cos x = f(x)$

Так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, то функция является чётной.

Ответ: Доказано, что функция является чётной.

б) $f(x) = \frac{\cos x^3}{4 - x^2}$

1. Область определения функции задается условием, что знаменатель не равен нулю: $4 - x^2 \neq 0$, то есть $x^2 \neq 4$, откуда $x \neq \pm 2$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\cos((-x)^3)}{4 - (-x)^2}$

Упростим выражение:

В числителе: $\cos((-x)^3) = \cos(-x^3)$. Так как косинус — чётная функция, $\cos(-a) = \cos a$, следовательно $\cos(-x^3) = \cos(x^3)$.

В знаменателе: $4 - (-x)^2 = 4 - x^2$.

В результате получаем: $f(-x) = \frac{\cos x^3}{4 - x^2} = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: Доказано, что функция является чётной.

в) $f(x) = \frac{\cos 5x + 1}{|x|}$

1. Область определения функции задается условием $|x| \neq 0$, то есть $x \neq 0$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\cos(5(-x)) + 1}{|-x|}$

Упростим выражение, используя свойства функций:

В числителе: $\cos(5(-x)) = \cos(-5x) = \cos(5x)$ (свойство чётности косинуса).

В знаменателе: $|-x| = |x|$ (свойство модуля).

Таким образом, $f(-x) = \frac{\cos 5x + 1}{|x|} = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: Доказано, что функция является чётной.

г) $f(x) = (4 + \cos x)(\sin^6 x - 1)$

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как функции $y=\cos x$ и $y=\sin x$ определены для всех действительных чисел. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (4 + \cos(-x))(\sin^6(-x) - 1)$

Используем свойства чётности и нечётности тригонометрических функций:

$\cos(-x) = \cos x$ (косинус — чётная функция).

$\sin(-x) = -\sin x$ (синус — нечётная функция).

Тогда $\sin^6(-x) = (\sin(-x))^6 = (-\sin x)^6 = \sin^6 x$.

Подставим упрощенные выражения в формулу для $f(-x)$:

$f(-x) = (4 + \cos x)(\sin^6 x - 1) = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: Доказано, что функция является чётной.