Номер 11.9, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§11. Функция у = cos х, её свойства и график. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 11.9, страница 33.

11.9 Постройте и прочитайте график функции $y = f(x)$:

а) $f(x) = \begin{cases} x + 1, & \text{если } x < 0 \\ \cos x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

б) $f(x) = \begin{cases} \cos x, & \text{если } x \le \frac{\pi}{2} \\ \sin x, & \text{если } x > \frac{\pi}{2} \end{cases}$

в) $f(x) = \begin{cases} -\frac{2}{x}, & \text{если } x < 0 \\ -\cos x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

г) $f(x) = \begin{cases} -\cos x, & \text{если } x < 0 \\ 2x^2 - 1, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

а)

Функция задана кусочно: $f(x) = \begin{cases} x+1, & \text{если } x < 0 \\ \cos x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$.
Построение графика:
При $x < 0$ строим часть прямой $y = x+1$. Это луч, выходящий из точки $(0, 1)$ (которая выколота, так как неравенство строгое) и проходящий через точку $(-1, 0)$.
При $x \ge 0$ строим часть графика функции $y = \cos x$. График начинается в точке $(0, 1)$ (которая закрашена, так как неравенство нестрогое) и продолжается вправо как стандартная косинусоида.
Так как предел слева в точке $x=0$ равен $\lim_{x \to 0^-} (x+1) = 1$ и значение функции в точке $x=0$ равно $f(0) = \cos(0) = 1$, то функция непрерывна в точке $x=0$, и части графика плавно соединяются.

Чтение графика (свойства функции):
1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = (-\infty; 1]$.
3. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
4. Нули функции (точки пересечения с осью $Ox$): $x = -1$ (из уравнения $x+1=0$) и $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$) (из уравнения $\cos x = 0$).
5. Промежутки знакопостоянства:
$f(x) > 0$ при $x \in (-1, \frac{\pi}{2}) \cup \bigcup_{k=1}^{\infty} (\frac{4k-1}{2}\pi, \frac{4k+1}{2}\pi)$.
$f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup \bigcup_{k=0}^{\infty} (\frac{4k+1}{2}\pi, \frac{4k+3}{2}\pi)$.
6. Промежутки монотонности:
Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и на отрезках $[\pi + 2\pi k, 2\pi(k+1)]$ для $k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$.
Функция убывает на отрезках $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$ для $k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$.
7. Четность/нечетность: функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).
8. Периодичность: функция непериодическая.

Ответ: График функции состоит из луча прямой $y=x+1$ при $x<0$ и части графика $y=\cos x$ при $x \ge 0$. Функция непрерывна на всей числовой оси, область значений $E(f) = (-\infty; 1]$.

б)

Функция задана кусочно: $f(x) = \begin{cases} \cos x, & \text{если } x \le \frac{\pi}{2} \\ \sin x, & \text{если } x > \frac{\pi}{2} \end{cases}$.
Построение графика:
При $x \le \frac{\pi}{2}$ строим график функции $y = \cos x$. Эта часть графика заканчивается в точке $(\frac{\pi}{2}, 0)$, которая включена.
При $x > \frac{\pi}{2}$ строим график функции $y = \sin x$. Эта часть графика начинается от точки $(\frac{\pi}{2}, 1)$, которая выколота.
В точке $x=\frac{\pi}{2}$ значение функции слева $f(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, а предел справа $\lim_{x \to (\pi/2)^+} \sin x = 1$. Следовательно, в этой точке функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Чтение графика (свойства функции):
1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = [-1; 1]$.
3. Непрерывность: функция непрерывна на $(-\infty, \frac{\pi}{2})$ и $(\frac{\pi}{2}, +\infty)$. В точке $x = \frac{\pi}{2}$ имеет разрыв первого рода.
4. Нули функции: $x = \frac{\pi}{2} - \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$ (из $\cos x=0$) и $x = \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}, k \ge 1$ (из $\sin x=0$).
5. Промежутки знакопостоянства:
$f(x) > 0$ при $x \in \bigcup_{k \le 0} (-\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{\pi}{2}+2k\pi) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi) \cup \bigcup_{k \ge 1} (2k\pi, (2k+1)\pi)$.
$f(x) < 0$ при $x \in \bigcup_{k < 0} (\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{3\pi}{2}+2k\pi) \cup \bigcup_{k \ge 1} ((2k-1)\pi, 2k\pi)$.
6. Промежутки монотонности сложны, функция меняет характер несколько раз.
7. Четность/нечетность: функция общего вида.
8. Периодичность: функция непериодическая.

Ответ: График состоит из части косинусоиды ($x \le \frac{\pi}{2}$) и части синусоиды ($x > \frac{\pi}{2}$). В точке $x = \frac{\pi}{2}$ функция терпит разрыв первого рода. Область значений $E(f) = [-1; 1]$.

в)

Функция задана кусочно: $f(x) = \begin{cases} -\frac{2}{x}, & \text{если } x < 0 \\ -\cos x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$.
Построение графика:
При $x < 0$ строим ветвь гиперболы $y = -\frac{2}{x}$. Эта ветвь расположена в первом координатном квадранте. Ось $y$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой, $\lim_{x \to 0^-} (-\frac{2}{x}) = +\infty$.
При $x \ge 0$ строим график функции $y = -\cos x$. Это косинусоида, отраженная относительно оси $Ox$. График начинается в точке $(0, -1)$.
В точке $x=0$ функция имеет разрыв второго рода (бесконечный разрыв), так как предел слева равен $+\infty$.

Чтение графика (свойства функции):
1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = [-1; +\infty)$.
3. Непрерывность: функция непрерывна на $(-\infty, 0)$ и на $[0, +\infty)$. В точке $x=0$ имеет разрыв второго рода.
4. Нули функции: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$. При $x<0$ нулей нет.
5. Промежутки знакопостоянства:
$f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup \bigcup_{k=0}^{\infty} (\frac{4k+1}{2}\pi, \frac{4k+3}{2}\pi)$.
$f(x) < 0$ при $x \in [0, \frac{\pi}{2}) \cup \bigcup_{k=1}^{\infty} (\frac{4k-1}{2}\pi, \frac{4k+1}{2}\pi)$.
6. Промежутки монотонности:
Функция возрастает на $(-\infty, 0)$ и на отрезках $[2\pi k, (2k+1)\pi]$ для $k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$.
Функция убывает на отрезках $[(2k-1)\pi, 2k\pi]$ для $k \in \mathbb{Z}, k \ge 1$.
7. Четность/нечетность: функция общего вида.
8. Периодичность: функция непериодическая.

Ответ: График состоит из ветви гиперболы $y = -2/x$ при $x<0$ и графика $y = -\cos x$ при $x \ge 0$. В точке $x=0$ функция имеет разрыв второго рода. Область значений $E(f) = [-1; +\infty)$.

г)

Функция задана кусочно: $f(x) = \begin{cases} -\cos x, & \text{если } x < 0 \\ 2x^2-1, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$.
Построение графика:
При $x < 0$ строим график функции $y = -\cos x$. Он заканчивается в выколотой точке $(0, -1)$.
При $x \ge 0$ строим график функции $y = 2x^2-1$. Это парабола с вершиной в точке $(0, -1)$, ветви которой направлены вверх.
Предел слева в точке $x=0$ равен $\lim_{x \to 0^-} (-\cos x) = -1$. Значение функции в точке $x=0$ равно $f(0) = 2(0)^2 - 1 = -1$. Так как они равны, функция непрерывна в $x=0$.

Чтение графика (свойства функции):
1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = [-1; +\infty)$.
3. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
4. Нули функции: $x = -\frac{\pi}{2} - \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$ (из $-\cos x=0$) и $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (из $2x^2-1=0$).
5. Промежутки знакопостоянства:
$f(x) > 0$ при $x \in (\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty) \cup \bigcup_{k=0}^{\infty} (-\frac{(4k+3)\pi}{2}, -\frac{(4k+1)\pi}{2})$.
$f(x) < 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup \bigcup_{k=1}^{\infty} (-\frac{(4k+1)\pi}{2}, -\frac{(4k-1)\pi}{2})$.
6. Промежутки монотонности:
Функция возрастает на $[-\pi, +\infty)$ и на отрезках $[-(2k+1)\pi, -2k\pi]$ для $k \in \mathbb{Z}, k \ge 1$.
Функция убывает на отрезках $[-2k\pi, -(2k-1)\pi]$ для $k \in \mathbb{Z}, k \ge 1$.
7. Четность/нечетность: функция общего вида.
8. Периодичность: функция непериодическая.

Ответ: График состоит из части графика $y=-\cos x$ при $x<0$ и ветви параболы $y=2x^2-1$ при $x \ge 0$. Функция непрерывна на всей числовой оси, область значений $E(f) = [-1; +\infty)$.