Номер 11.4, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§11. Функция у = cos х, её свойства и график. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 11.4, страница 32.

11.4 $y = 2 \cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 1$, если:

а) $x = -\frac{\pi}{2}$;

б) $x = \frac{\pi}{4}$.

а)

Для нахождения значения $y$ подставим заданное значение $x = -\frac{\pi}{2}$ в функцию $y = 2 \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 1$.

$y = 2 \cos\left(-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) - 1$

Сначала вычислим значение аргумента косинуса, приведя дроби к общему знаменателю:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$

Теперь выражение принимает вид:

$y = 2 \cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) - 1$

Воспользуемся свойством четности функции косинус: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.

$y = 2 \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) - 1$

Значение косинуса для угла $\frac{3\pi}{4}$ является табличным и равно $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставляем это значение в уравнение:

$y = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 1 = -\sqrt{2} - 1$

Ответ: $y = -\sqrt{2} - 1$.

б)

Для нахождения значения $y$ подставим заданное значение $x = \frac{\pi}{4}$ в функцию $y = 2 \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 1$.

$y = 2 \cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right) - 1$

Вычислим значение в скобках:

$y = 2 \cos(0) - 1$

Значение $\cos(0)$ равно $1$.

Подставим это значение в уравнение:

$y = 2 \cdot 1 - 1 = 2 - 1 = 1$

Ответ: $y = 1$.