Номер 10.23, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§10. Функция у = sinx, её свойства и график. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 10.23, страница 32.

10.23 a) $\sin x - \sqrt{x} - \pi = 0$;

б) $-\sin x = \sqrt{x}$.

а)

Рассмотрим уравнение $\sin x - \sqrt{x-\pi} = 0$.

Перепишем его в виде $\sin x = \sqrt{x-\pi}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-\pi \ge 0$, откуда $x \ge \pi$.

Проведем оценку левой и правой частей уравнения.

1. Область значений функции синус: $-1 \le \sin x \le 1$.

2. Арифметический квадратный корень $\sqrt{x-\pi}$ всегда неотрицателен, то есть $\sqrt{x-\pi} \ge 0$.

Поскольку $\sin x = \sqrt{x-\pi}$, то значение $\sin x$ также должно быть неотрицательным. Объединяя с областью значений синуса, получаем: $0 \le \sin x \le 1$.

Так как $\sin x \le 1$, то и $\sqrt{x-\pi} \le 1$. Возведем обе части этого неравенства в квадрат: $x-\pi \le 1^2$ $x \le \pi + 1$.

Теперь объединим все условия для $x$:

Из ОДЗ мы имеем $x \ge \pi$.

Из оценки значений функций мы получили $x \le \pi + 1$.

Следовательно, решение должно находиться в промежутке $\pi \le x \le \pi + 1$.

Рассмотрим поведение функции $\sin x$ на этом промежутке. Аргумент $x$ находится в третьем и четвертом квадрантах (так как $\pi \approx 3.14$ и $\pi+1 \approx 4.14$, а $3\pi/2 \approx 4.71$). В промежутке $[\pi, 2\pi]$ функция синус принимает неположительные значения, то есть $\sin x \le 0$.

Таким образом, мы имеем два противоречащих друг другу условия:

1. $\sin x \ge 0$ (из того, что синус равен корню)

2. $\sin x \le 0$ (из того, что $x$ принадлежит отрезку $[\pi, \pi+1]$)

Единственный способ удовлетворить обоим условиям — это равенство $\sin x = 0$.

Если $\sin x = 0$, то из исходного уравнения $\sqrt{x-\pi} = 0$, откуда $x - \pi = 0$, и $x = \pi$.

Проверим, является ли $x=\pi$ корнем уравнения, подставив его в исходное выражение: $\sin(\pi) - \sqrt{\pi-\pi} = 0 - \sqrt{0} = 0$. Равенство $0=0$ выполняется, следовательно, $x=\pi$ является единственным решением.

Ответ: $\pi$.

б)

Рассмотрим уравнение $-\sin x = \sqrt{x}$.

Перепишем его в виде $\sin x = -\sqrt{x}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Проведем оценку левой и правой частей уравнения.

Слева стоит функция $\sin x$, область значений которой $[-1, 1]$.

Справа стоит функция $-\sqrt{x}$. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $-\sqrt{x} \le 0$. Область значений правой части — $(-\infty, 0]$.

Равенство возможно только в том случае, если значения обеих частей принадлежат пересечению их областей значений, то есть отрезку $[-1, 0]$. Таким образом, должны выполняться неравенства: $-1 \le \sin x \le 0$ и $-1 \le -\sqrt{x} \le 0$.

Из неравенства $-1 \le -\sqrt{x}$ следует, что $\sqrt{x} \le 1$. Так как обе части неотрицательны, можно возвести в квадрат: $x \le 1$.

Объединяя с ОДЗ ($x \ge 0$), получаем, что возможное решение должно лежать в отрезке $0 \le x \le 1$.

Проверим значение $x=0$: $-\sin(0) = 0$ $\sqrt{0} = 0$ $0 = 0$. Следовательно, $x=0$ является корнем уравнения.

Чтобы определить, есть ли другие корни на интервале $(0, 1]$, рассмотрим поведение функций $y_1 = -\sin x$ и $y_2 = \sqrt{x}$ или эквивалентно, рассмотрим функцию $f(x) = \sin x + \sqrt{x}$ и найдем ее нули.

Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = (\sin x + \sqrt{x})' = \cos x + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

На интервале $(0, 1]$ (значения в радианах), косинус положителен ($\cos x > 0$), так как $1 < \pi/2 \approx 1.57$. Член $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ также очевидно положителен для $x>0$.

Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x \in (0, 1]$. Это означает, что функция $f(x)$ строго возрастает на этом интервале.

Поскольку $f(0)=0$ и функция $f(x)$ строго возрастает при $x>0$, она больше не может принимать значение 0. Таким образом, $x=0$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $0$.