Номер 10.19, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§10. Функция у = sinx, её свойства и график. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 10.19, страница 31.

10.19 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} -x^2, & \text{если } x < 0, \\ \sin x, & \text{если } 0 \le x \le \pi, \\ -(x - \pi)^2, & \text{если } x > \pi. \end{cases}$

а) Вычислите: $f(-3)$, $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$, $f(2\pi - 3)$;

б) постройте график функции $y = f(x)$;

в) прочитайте график функции $y = f(x)$.

а) Вычислите: f(-3), f($\frac{\pi}{2}$), f(2$\pi$ - 3)

Для вычисления значений функции в заданных точках необходимо определить, какому из трех интервалов принадлежит аргумент $x$ и использовать соответствующую формулу.

• Вычисление $f(-3)$:
  Аргумент $x = -3$. Так как $-3 < 0$, используем первую формулу: $f(x) = -x^2$.
  $f(-3) = -(-3)^2 = -9$.

• Вычисление $f(\frac{\pi}{2})$:
  Аргумент $x = \frac{\pi}{2}$. Так как $0 \le \frac{\pi}{2} \le \pi$ (приблизительно $0 \le 1.57 \le 3.14$), используем вторую формулу: $f(x) = \sin x$.
  $f(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

• Вычисление $f(2\pi - 3)$:
  Аргумент $x = 2\pi - 3$. Оценим его значение: $2\pi - 3 \approx 2 \cdot 3.14 - 3 = 6.28 - 3 = 3.28$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $2\pi - 3 > \pi$. Используем третью формулу: $f(x) = -(x - \pi)^2$.
  $f(2\pi - 3) = -((2\pi - 3) - \pi)^2 = -(\pi - 3)^2 = -(9 - 6\pi + \pi^2) = -9 + 6\pi - \pi^2$.

Ответ: $f(-3) = -9$; $f(\frac{\pi}{2}) = 1$; $f(2\pi - 3) = -(\pi - 3)^2$.

б) постройте график функции y = f(x)

График функции $y = f(x)$ состоит из трех частей:

1. На промежутке $(-\infty; 0)$ это часть параболы $y = -x^2$ с ветвями, направленными вниз.
2. На отрезке $[0; \pi]$ это одна арка синусоиды $y = \sin x$.
3. На промежутке $(\pi; +\infty)$ это часть параболы $y = -(x - \pi)^2$, которая является параболой $y = -x^2$, сдвинутой вправо на $\pi$, с ветвями, направленными вниз.

Функция непрерывна в точках "стыковки" $x=0$ и $x=\pi$:

• При $x=0$: $\lim_{x\to 0^-} (-x^2) = 0$ и $f(0) = \sin(0) = 0$.
• При $x=\pi$: $f(\pi) = \sin(\pi) = 0$ и $\lim_{x\to \pi^+} (-(x-\pi)^2) = 0$.

График функции выглядит следующим образом:

Ответ: График функции представлен выше.

в) прочитайте график функции y = f(x)

Проведем анализ функции на основе ее формулы и графика.

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: Максимальное значение функции равно 1, и функция может принимать любые отрицательные значения. $E(f) = (-\infty; 1]$.
3. Непрерывность: Функция непрерывна на всей своей области определения, так как в точках $x=0$ и $x=\pi$ значения "сшиваемых" частей совпадают.
4. Четность/нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее график не симметричен ни относительно оси OY, ни относительно начала координат. Например, $f(-3)=-9$, а $f(3) = \sin(3) \approx 0.14$. $f(-3) \neq f(3)$ и $f(-3) \neq -f(3)$. Это функция общего вида.
5. Нули функции: $f(x)=0$ при $x=0$ (из $f(x)=\sin x$) и при $x=\pi$ (из $f(x)=\sin x$).
6. Промежутки знакопостоянства:
   • $f(x) > 0$ при $x \in (0; \pi)$.
   • $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (\pi; +\infty)$.
7. Промежутки монотонности (возрастания и убывания):
   • Функция возрастает на промежутке $(-\infty; \frac{\pi}{2}]$.
   • Функция убывает на промежутке $[\frac{\pi}{2}; +\infty)$.
8. Точки экстремума и экстремумы:
   • В точке $x = \frac{\pi}{2}$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума.
   • $x_{max} = \frac{\pi}{2}$ — точка максимума.
   • $y_{max} = f(\frac{\pi}{2}) = 1$ — максимум функции (глобальный максимум).
   • Точек минимума (локальных и глобальных) у функции нет.

Ответ: Свойства функции подробно описаны в пунктах 1-8.