Номер 10.22, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§10. Функция у = sinx, её свойства и график. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 10.22, страница 31.

10.22 a)

$ \sin x = \frac{2}{\pi}x; $

б) $ \sin x = -\frac{4}{\pi}x + 3. $

а)

Для решения уравнения $ \sin x = \frac{2}{\pi}x $ воспользуемся графическим методом. Построим в одной системе координат графики функций $ y = \sin x $ и $ y = \frac{2}{\pi}x $. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

График функции $ y = \sin x $ — это синусоида, значения которой лежат в пределах от -1 до 1.

График функции $ y = \frac{2}{\pi}x $ — это прямая, проходящая через начало координат (точку (0, 0)) с угловым коэффициентом $ k = \frac{2}{\pi} \approx 0.64 $.

Найдем возможные точки пересечения путем подстановки ключевых значений.

1. Пусть $ x = 0 $.
Для первой функции: $ y = \sin(0) = 0 $.
Для второй функции: $ y = \frac{2}{\pi} \cdot 0 = 0 $.
Поскольку значения совпали, $ x = 0 $ является корнем уравнения.

2. Пусть $ x = \frac{\pi}{2} $.
Для первой функции: $ y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $.
Для второй функции: $ y = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = 1 $.
Значения снова совпали, значит, $ x = \frac{\pi}{2} $ также является корнем.

3. Пусть $ x = -\frac{\pi}{2} $.
Для первой функции: $ y = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 $.
Для второй функции: $ y = \frac{2}{\pi} \cdot (-\frac{\pi}{2}) = -1 $.
Значения совпали, следовательно, $ x = -\frac{\pi}{2} $ — третий корень.

Рассмотрим поведение функций при $ |x| > \frac{\pi}{2} $.

Если $ x > \frac{\pi}{2} $, то $ \frac{2}{\pi}x > \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = 1 $. Таким образом, значения линейной функции $ y = \frac{2}{\pi}x $ будут больше 1. В то же время, значения функции $ y = \sin x $ не могут превышать 1. Следовательно, при $ x > \frac{\pi}{2} $ графики не пересекаются.

Если $ x < -\frac{\pi}{2} $, то $ \frac{2}{\pi}x < \frac{2}{\pi} \cdot (-\frac{\pi}{2}) = -1 $. Значения линейной функции $ y = \frac{2}{\pi}x $ будут меньше -1. В то же время, значения функции $ y = \sin x $ не могут быть меньше -1. Следовательно, при $ x < -\frac{\pi}{2} $ графики также не пересекаются.

Таким образом, уравнение имеет ровно три решения.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{2}; 0; \frac{\pi}{2} $.

б)

Для решения уравнения $ \sin x = -\frac{4}{\pi}x + 3 $ рассмотрим графики функций $ y = \sin x $ и $ y = -\frac{4}{\pi}x + 3 $.

Область значений функции $ y = \sin x $ — это отрезок $ [-1, 1] $. Это означает, что точки пересечения могут существовать только при тех значениях $ x $, для которых значения функции $ y = -\frac{4}{\pi}x + 3 $ также принадлежат отрезку $ [-1, 1] $.

Решим двойное неравенство: $ -1 \le -\frac{4}{\pi}x + 3 \le 1 $

Вычтем 3 из всех частей неравенства: $ -1 - 3 \le -\frac{4}{\pi}x \le 1 - 3 $
$ -4 \le -\frac{4}{\pi}x \le -2 $

Умножим все части неравенства на $ -\frac{\pi}{4} $ и поменяем знаки неравенства на противоположные: $ -2 \cdot (-\frac{\pi}{4}) \le x \le -4 \cdot (-\frac{\pi}{4}) $
$ \frac{\pi}{2} \le x \le \pi $

Это означает, что решения уравнения (если они есть) могут лежать только в отрезке $ [\frac{\pi}{2}, \pi] $.

Проверим значение $ x = \frac{\pi}{2} $:
$ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $
$ -\frac{4}{\pi} \cdot (\frac{\pi}{2}) + 3 = -2 + 3 = 1 $
Так как $ 1 = 1 $, то $ x = \frac{\pi}{2} $ является решением уравнения.

Чтобы определить, есть ли другие решения на отрезке $ [\frac{\pi}{2}, \pi] $, проанализируем поведение функций.

Рассмотрим функцию $ f(x) = \sin x - (-\frac{4}{\pi}x + 3) = \sin x + \frac{4}{\pi}x - 3 $. Нам нужно найти нули этой функции на отрезке $ [\frac{\pi}{2}, \pi] $.

Найдем ее производную: $ f'(x) = (\sin x + \frac{4}{\pi}x - 3)' = \cos x + \frac{4}{\pi} $

На отрезке $ [\frac{\pi}{2}, \pi] $ функция $ \cos x $ принимает значения от -1 до 0. Значение $ \frac{4}{\pi} \approx 1.27 $.

Поэтому на данном отрезке производная $ f'(x) = \cos x + \frac{4}{\pi} $ всегда будет положительной, так как наименьшее значение $ \cos x $ равно -1, а $ -1 + \frac{4}{\pi} > 0 $.

Поскольку $ f'(x) > 0 $ на отрезке $ [\frac{\pi}{2}, \pi] $, функция $ f(x) $ является строго возрастающей на этом отрезке. Строго возрастающая функция может пересечь ось абсцисс (т.е. принять значение 0) не более одного раза.

Мы уже нашли, что $ f(\frac{\pi}{2}) = 0 $. Поскольку функция строго возрастает, для любого $ x $ из интервала $ (\frac{\pi}{2}, \pi] $ будет выполняться $ f(x) > f(\frac{\pi}{2}) $, то есть $ f(x) > 0 $.

Следовательно, других корней на этом отрезке нет, и уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} $.