Номер 10.22, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§10. Функция у = sinx, её свойства и график. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 10.22, страница 31.

10.22 a)

$\sin x = \frac{2}{\pi}x;$

б) $\sin x = -\frac{4}{\pi}x + 3.$

а)

Для решения уравнения $\sin x = \frac{2}{\pi}x$ воспользуемся графическим методом. Построим в одной системе координат графики функций $y = \sin x$ и $y = \frac{2}{\pi}x$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

График функции $y = \sin x$ — это синусоида, значения которой лежат в пределах от -1 до 1.

График функции $y = \frac{2}{\pi}x$ — это прямая, проходящая через начало координат (точку (0, 0)) с угловым коэффициентом $k = \frac{2}{\pi} \approx 0.64$.

Найдем возможные точки пересечения путем подстановки ключевых значений.

1. Пусть $x = 0$.
Для первой функции: $y = \sin(0) = 0$.
Для второй функции: $y = \frac{2}{\pi} \cdot 0 = 0$.
Поскольку значения совпали, $x = 0$ является корнем уравнения.

2. Пусть $x = \frac{\pi}{2}$.
Для первой функции: $y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Для второй функции: $y = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = 1$.
Значения снова совпали, значит, $x = \frac{\pi}{2}$ также является корнем.

3. Пусть $x = -\frac{\pi}{2}$.
Для первой функции: $y = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.
Для второй функции: $y = \frac{2}{\pi} \cdot (-\frac{\pi}{2}) = -1$.
Значения совпали, следовательно, $x = -\frac{\pi}{2}$ — третий корень.

Рассмотрим поведение функций при $|x| > \frac{\pi}{2}$.

Если $x > \frac{\pi}{2}$, то $\frac{2}{\pi}x > \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = 1$. Таким образом, значения линейной функции $y = \frac{2}{\pi}x$ будут больше 1. В то же время, значения функции $y = \sin x$ не могут превышать 1. Следовательно, при $x > \frac{\pi}{2}$ графики не пересекаются.

Если $x < -\frac{\pi}{2}$, то $\frac{2}{\pi}x < \frac{2}{\pi} \cdot (-\frac{\pi}{2}) = -1$. Значения линейной функции $y = \frac{2}{\pi}x$ будут меньше -1. В то же время, значения функции $y = \sin x$ не могут быть меньше -1. Следовательно, при $x < -\frac{\pi}{2}$ графики также не пересекаются.

Таким образом, уравнение имеет ровно три решения.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2}; 0; \frac{\pi}{2}$.

б)

Для решения уравнения $\sin x = -\frac{4}{\pi}x + 3$ рассмотрим графики функций $y = \sin x$ и $y = -\frac{4}{\pi}x + 3$.

Область значений функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что точки пересечения могут существовать только при тех значениях $x$, для которых значения функции $y = -\frac{4}{\pi}x + 3$ также принадлежат отрезку $[-1, 1]$.

Решим двойное неравенство: $-1 \le -\frac{4}{\pi}x + 3 \le 1$

Вычтем 3 из всех частей неравенства: $-1 - 3 \le -\frac{4}{\pi}x \le 1 - 3$
$-4 \le -\frac{4}{\pi}x \le -2$

Умножим все части неравенства на $-\frac{\pi}{4}$ и поменяем знаки неравенства на противоположные: $-2 \cdot (-\frac{\pi}{4}) \le x \le -4 \cdot (-\frac{\pi}{4})$
$\frac{\pi}{2} \le x \le \pi$

Это означает, что решения уравнения (если они есть) могут лежать только в отрезке $[\frac{\pi}{2}, \pi]$.

Проверим значение $x = \frac{\pi}{2}$:
$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
$-\frac{4}{\pi} \cdot (\frac{\pi}{2}) + 3 = -2 + 3 = 1$
Так как $1 = 1$, то $x = \frac{\pi}{2}$ является решением уравнения.

Чтобы определить, есть ли другие решения на отрезке $[\frac{\pi}{2}, \pi]$, проанализируем поведение функций.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sin x - (-\frac{4}{\pi}x + 3) = \sin x + \frac{4}{\pi}x - 3$. Нам нужно найти нули этой функции на отрезке $[\frac{\pi}{2}, \pi]$.

Найдем ее производную: $f'(x) = (\sin x + \frac{4}{\pi}x - 3)' = \cos x + \frac{4}{\pi}$

На отрезке $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ функция $\cos x$ принимает значения от -1 до 0. Значение $\frac{4}{\pi} \approx 1.27$.

Поэтому на данном отрезке производная $f'(x) = \cos x + \frac{4}{\pi}$ всегда будет положительной, так как наименьшее значение $\cos x$ равно -1, а $-1 + \frac{4}{\pi} > 0$.

Поскольку $f'(x) > 0$ на отрезке $[\frac{\pi}{2}, \pi]$, функция $f(x)$ является строго возрастающей на этом отрезке. Строго возрастающая функция может пересечь ось абсцисс (т.е. принять значение 0) не более одного раза.

Мы уже нашли, что $f(\frac{\pi}{2}) = 0$. Поскольку функция строго возрастает, для любого $x$ из интервала $(\frac{\pi}{2}, \pi]$ будет выполняться $f(x) > f(\frac{\pi}{2})$, то есть $f(x) > 0$.

Следовательно, других корней на этом отрезке нет, и уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2}$.