Номер 10.24, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§10. Функция у = sinx, её свойства и график. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 10.24, страница 32.

10.24 a) $ \sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \pi - 3x $

б) $ \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \left(x - \frac{\pi}{3}\right)^2 + 1 $

а) Решим уравнение $ \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right) = \pi - 3x $.

Это трансцендентное уравнение, которое решается не стандартными алгебраическими методами. В таких случаях полезно проанализировать функции или сделать замену переменной.

Сделаем замену: пусть $ y = x - \frac{\pi}{3} $. Тогда $ x = y + \frac{\pi}{3} $. Подставим это в исходное уравнение:

$ \sin(y) = \pi - 3\left(y + \frac{\pi}{3}\right) $

$ \sin(y) = \pi - 3y - 3 \cdot \frac{\pi}{3} $

$ \sin(y) = \pi - 3y - \pi $

$ \sin(y) = -3y $

Перенесем все члены в одну сторону:

$ \sin(y) + 3y = 0 $

Рассмотрим функцию $ f(y) = \sin(y) + 3y $. Нам нужно найти ее нули.

Легко заметить, что $ y=0 $ является корнем уравнения, так как $ \sin(0) + 3 \cdot 0 = 0 + 0 = 0 $.

Чтобы определить, есть ли другие корни, исследуем монотонность функции $ f(y) $ с помощью ее производной:

$ f'(y) = (\sin(y) + 3y)' = \cos(y) + 3 $

Мы знаем, что область значений функции косинус $ [-1, 1] $, то есть $ -1 \le \cos(y) \le 1 $.

Следовательно, $ -1 + 3 \le \cos(y) + 3 \le 1 + 3 $, что дает $ 2 \le f'(y) \le 4 $.

Так как производная $ f'(y) $ всегда положительна, функция $ f(y) $ является строго возрастающей на всей числовой прямой. Строго монотонная функция может пересекать ось абсцисс не более одного раза.

Таким образом, $ y=0 $ — единственный корень уравнения $ \sin(y) + 3y = 0 $.

Теперь вернемся к исходной переменной $ x $:

$ y = x - \frac{\pi}{3} $

$ 0 = x - \frac{\pi}{3} $

$ x = \frac{\pi}{3} $

Проверим найденный корень в исходном уравнении:

$ \sin\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = \pi - 3 \cdot \frac{\pi}{3} $

$ \sin(0) = \pi - \pi $

$ 0 = 0 $

Равенство верное.

Ответ: $ \frac{\pi}{3} $

б) Решим уравнение $ \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right) = \left(x-\frac{\pi}{3}\right)^2 + 1 $.

Для решения этого уравнения оценим области значений левой и правой частей.

1. Левая часть уравнения: $ \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right) $.

Область значений функции синус — отрезок $ [-1, 1] $. Таким образом, для любого $ x $:

$ -1 \le \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right) \le 1 $

2. Правая часть уравнения: $ \left(x-\frac{\pi}{3}\right)^2 + 1 $.

Выражение $ \left(x-\frac{\pi}{3}\right)^2 $ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно:

$ \left(x-\frac{\pi}{3}\right)^2 \ge 0 $

Прибавляя 1 к обеим частям неравенства, получаем:

$ \left(x-\frac{\pi}{3}\right)^2 + 1 \ge 1 $

Итак, мы имеем левую часть, которая не превосходит 1, и правую часть, которая не меньше 1. Равенство между ними возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны 1.

Это приводит к системе уравнений:

$ \begin{cases} \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right) = 1 \\ \left(x-\frac{\pi}{3}\right)^2 + 1 = 1 \end{cases} $

Решим второе уравнение, так как оно проще:

$ \left(x-\frac{\pi}{3}\right)^2 = 0 $

$ x - \frac{\pi}{3} = 0 $

$ x = \frac{\pi}{3} $

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденное значение $ x $ первому уравнению системы. Подставим $ x = \frac{\pi}{3} $ в первое уравнение:

$ \sin\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right) = 1 $

$ \sin\left(\frac{2\pi}{6}+\frac{\pi}{6}\right) = 1 $

$ \sin\left(\frac{3\pi}{6}\right) = 1 $

$ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $

$ 1 = 1 $

Равенство верное. Следовательно, $ x = \frac{\pi}{3} $ является единственным решением исходного уравнения.

Ответ: $ \frac{\pi}{3} $