Номер 10.20, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§10. Функция у = sinx, её свойства и график. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 10.20, страница 31.

10.20 Дана функция $y = f(x)$, где

$$f(x) = \begin{cases} \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right), & \text{если } -\frac{3\pi}{2} \le x \le 0, \\ x + 1, & \text{если } 0 < x < 2, \\ -\sqrt{x - 2} + 3, & \text{если } x \ge 2. \end{cases}$$

а) Вычислите: $f(0)$, $f(6)$, $f(-\pi - 2)$;

б) постройте график функции $y = f(x)$;

в) прочитайте график функции $y = f(x)$.

Данная кусочно-заданная функция $f(x)$ определена на трех интервалах:

$f(x) = \sin(x + \frac{\pi}{2})$ при $-\frac{3\pi}{2} \le x \le 0$,

$f(x) = x + 1$ при $0 < x < 2$,

$f(x) = -\sqrt{x - 2} + 3$ при $x \ge 2$.

а) Вычислите: f(0), f(6), f(-π - 2);

Для вычисления значения функции в точке необходимо определить, какому из трех промежутков принадлежит аргумент $x$.

• Вычисление $f(0)$:
  Точка $x = 0$ принадлежит первому промежутку $[-\frac{3\pi}{2}, 0]$, так как неравенство $-\frac{3\pi}{2} \le 0 \le 0$ верно. Следовательно, используем первую формулу: $f(x) = \sin(x + \frac{\pi}{2})$.
  По формуле приведения, $\sin(x + \frac{\pi}{2}) = \cos(x)$.
  $f(0) = \sin(0 + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

• Вычисление $f(6)$:
  Точка $x = 6$ принадлежит третьему промежутку $[2, +\infty)$, так как $6 \ge 2$. Следовательно, используем третью формулу: $f(x) = -\sqrt{x - 2} + 3$.
  $f(6) = -\sqrt{6 - 2} + 3 = -\sqrt{4} + 3 = -2 + 3 = 1$.

• Вычисление $f(-\pi - 2)$:
  Сначала определим, в какой промежуток попадает значение $x = -\pi - 2$. Область определения функции $D(f) = [-\frac{3\pi}{2}, +\infty)$. Сравним $x = -\pi - 2$ с левой границей области определения $-\frac{3\pi}{2}$.
  Приближенные значения: $\pi \approx 3.14$, значит $-\pi - 2 \approx -3.14 - 2 = -5.14$.
  $-\frac{3\pi}{2} \approx -\frac{3 \times 3.14}{2} = -4.71$.
  Так как $-5.14 < -4.71$, то $-\pi - 2 < -\frac{3\pi}{2}$.
  Это означает, что точка $x = -\pi - 2$ не входит в область определения функции $f(x)$. Следовательно, значение функции в этой точке не определено.

Ответ: $f(0) = 1$, $f(6) = 1$, $f(-\pi - 2)$ не определено.

б) постройте график функции y = f(x);

График функции состоит из трех частей, каждая из которых строится на своем промежутке.

1. На промежутке $[-\frac{3\pi}{2}, 0]$ строим график функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{2})$. Используя формулу приведения, получаем $y = \cos(x)$. Это часть графика косинусоиды. Найдем значения в ключевых точках этого отрезка:
   $f(-\frac{3\pi}{2}) = \cos(-\frac{3\pi}{2}) = 0$. Точка $(-3\pi/2, 0)$.
   $f(-\pi) = \cos(-\pi) = -1$. Точка $(-\pi, -1)$.
   $f(-\frac{\pi}{2}) = \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$. Точка $(-\pi/2, 0)$.
   $f(0) = \cos(0) = 1$. Точка $(0, 1)$.
   Все точки на концах этого интервала являются закрашенными (включены в график).

2. На интервале $(0, 2)$ строим график функции $y = x + 1$. Это график прямой линии. Так как интервал строгий, точки на концах будут выколотыми.
   При $x \to 0^+$, $y \to 1$. Точка $(0, 1)$ — выколотая.
   При $x \to 2^-$, $y \to 3$. Точка $(2, 3)$ — выколотая.
   Соединяем эти точки отрезком прямой.

3. На луче $[2, +\infty)$ строим график функции $y = -\sqrt{x - 2} + 3$. Это ветвь параболы, симметричной относительно горизонтальной оси. График получается из $y=\sqrt{x}$ смещением на 2 единицы вправо, отражением относительно оси Ox и смещением на 3 единицы вверх. Найдем значения в нескольких точках:
   $f(2) = -\sqrt{2-2} + 3 = 3$. Точка $(2, 3)$ — закрашенная (начало ветви).
   $f(3) = -\sqrt{3-2} + 3 = 2$. Точка $(3, 2)$.
   $f(6) = -\sqrt{6-2} + 3 = 1$. Точка $(6, 1)$.
   $f(11) = -\sqrt{11-2} + 3 = 0$. Точка $(11, 0)$.

Описание графика:
График начинается в точке $(-\frac{3\pi}{2}, 0)$, идет вниз до локального минимума в точке $(-\pi, -1)$, затем возрастает, проходя через точку $(-\frac{\pi}{2}, 0)$ до точки $(0, 1)$. В точке $(0, 1)$ график косинуса плавно переходит в отрезок прямой, который идет до точки $(2, 3)$. В точке $(2, 3)$ прямая переходит в ветвь параболы, которая убывает и пересекает ось Ox в точке $(11, 0)$. Функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Описание построения и итогового вида графика представлены выше.

в) прочитайте график функции y = f(x).

Прочитать график функции означает описать ее основные свойства.

• Область определения: $D(f) = [-\frac{3\pi}{2}, +\infty)$.

• Множество значений: $E(f) = (-\infty, 3]$.

• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения $[-\frac{3\pi}{2}, +\infty)$.

• Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $f(x) = 0$ при $x = -\frac{3\pi}{2}$, $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = 11$.

• Промежутки знакопостоянства:
  $f(x) > 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{2}, 11)$.
  $f(x) < 0$ при $x \in [-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}) \cup (11, +\infty)$.

• Промежутки монотонности (возрастания и убывания):
  Функция возрастает на промежутке $[-\pi, 2]$.
  Функция убывает на промежутках $[-\frac{3\pi}{2}, -\pi]$ и $[2, +\infty)$.

• Экстремумы функции:
  $x_{min} = -\pi$ — точка локального минимума, $f(-\pi) = -1$.
  $x_{max} = 2$ — точка локального максимума, $f(2) = 3$.
  $x = -\frac{3\pi}{2}$ — точка локального максимума (на границе области определения), $f(-\frac{3\pi}{2}) = 0$.
  Наибольшее значение функции: $y_{max} = 3$ (достигается при $x=2$).
  Наименьшего значения функция не имеет (неограничена снизу).

• Четность/нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения не симметрична относительно нуля.

• Периодичность: Функция не является периодической.

Ответ: Свойства функции перечислены выше.