Номер 10.14, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§10. Функция у = sinx, её свойства и график. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 10.14, страница 30.

10.14 Дано: $f(x) = 2x^2 - x + 1$. Докажите, что

$f(\sin x) = 3 - 2\cos^2 x - \sin x$.

Для доказательства данного утверждения найдем значение функции $f(x)$ при $x = \sin x$. Для этого подставим $\sin x$ в выражение $f(x) = 2x^2 - x + 1$:

$f(\sin x) = 2(\sin x)^2 - \sin x + 1 = 2\sin^2 x - \sin x + 1$.

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, которое связывает синус и косинус одного угла: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Из этого тождества выразим $\sin^2 x$:

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

Подставим полученное выражение для $\sin^2 x$ в нашу формулу для $f(\sin x)$:

$f(\sin x) = 2(1 - \cos^2 x) - \sin x + 1$.

Далее раскроем скобки и упростим выражение:

$f(\sin x) = 2 \cdot 1 - 2 \cdot \cos^2 x - \sin x + 1 = 2 - 2\cos^2 x - \sin x + 1$.

Приведем подобные слагаемые (сложим константы 2 и 1):

$f(\sin x) = (2 + 1) - 2\cos^2 x - \sin x = 3 - 2\cos^2 x - \sin x$.

Таким образом, мы преобразовали левую часть доказываемого равенства и получили правую часть, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что при $f(x) = 2x^2 - x + 1$ выполняется равенство $f(\sin x) = 3 - 2\cos^2 x - \sin x$.