Номер 10.7, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§10. Функция у = sinx, её свойства и график. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 10.7, страница 29.

10.7 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) + 0,5$ на промежутке:

а) $\left[ \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \right]$;

б) $\left( \frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4} \right)$;

в) $[0; \pi)$;

г) $\left[ \frac{\pi}{4}; +\infty \right)$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{4}) + 0.5$ на различных промежутках, удобно сделать замену переменной. Пусть $t = x - \frac{\pi}{4}$. Тогда функция примет вид $y = \sin(t) + 0.5$.

Область значений функции синус, $\sin(t)$, есть отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, общая область значений функции $y = \sin(t) + 0.5$ есть отрезок $[-1 + 0.5, 1 + 0.5] = [-0.5, 1.5]$.

Наименьшее значение, равное -0,5, функция принимает при $\sin(t) = -1$, то есть при $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Наибольшее значение, равное 1,5, функция принимает при $\sin(t) = 1$, то есть при $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Теперь рассмотрим каждый промежуток отдельно.

а) на промежутке $[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$

Найдем, в каких пределах изменяется переменная $t = x - \frac{\pi}{4}$, если $x \in [\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$.

Если $x = \frac{\pi}{4}$, то $t = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 0$.

Если $x = \frac{3\pi}{4}$, то $t = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, переменная $t$ изменяется на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.

На отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ функция $\sin(t)$ монотонно возрастает от $\sin(0) = 0$ до $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Следовательно, наименьшее значение функции $y = \sin(t) + 0.5$ на этом промежутке достигается при $t=0$ (что соответствует $x=\frac{\pi}{4}$):$y_{наим} = \sin(0) + 0.5 = 0 + 0.5 = 0.5$.

Наибольшее значение достигается при $t=\frac{\pi}{2}$ (что соответствует $x=\frac{3\pi}{4}$):$y_{наиб} = \sin(\frac{\pi}{2}) + 0.5 = 1 + 0.5 = 1.5$.

Ответ: наименьшее значение 0,5, наибольшее значение 1,5.

б) на промежутке $(\frac{3\pi}{4}; \frac{9\pi}{4})$

Найдем, в каких пределах изменяется переменная $t = x - \frac{\pi}{4}$, если $x \in (\frac{3\pi}{4}; \frac{9\pi}{4})$.

Если $x \to \frac{3\pi}{4}$, то $t \to \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Если $x \to \frac{9\pi}{4}$, то $t \to \frac{9\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} = 2\pi$.

Таким образом, переменная $t$ изменяется на интервале $(\frac{\pi}{2}; 2\pi)$.

На интервале $(\frac{\pi}{2}; 2\pi)$ функция $\sin(t)$ принимает значения из промежутка $[-1, 1)$. Наименьшее значение $\sin(t)=-1$ достигается при $t = \frac{3\pi}{2}$. Эта точка принадлежит интервалу $(\frac{\pi}{2}; 2\pi)$. Следовательно, наименьшее значение функции $y$ на данном промежутке:$y_{наим} = \sin(\frac{3\pi}{2}) + 0.5 = -1 + 0.5 = -0.5$.

Наибольшее значение $\sin(t)=1$ достигается при $t=\frac{\pi}{2}$, но эта точка не принадлежит интервалу $(\frac{\pi}{2}; 2\pi)$. Значение функции $y$ стремится к $1.5$ при $t \to \frac{\pi}{2}^+$, но никогда его не достигает. Таким образом, наибольшего значения на данном интервале не существует.

Ответ: наименьшее значение -0,5, наибольшего значения не существует.

в) на промежутке $[0; \pi)$

Найдем, в каких пределах изменяется переменная $t = x - \frac{\pi}{4}$, если $x \in [0; \pi)$.

Если $x = 0$, то $t = 0 - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$.

Если $x \to \pi$, то $t \to \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Таким образом, переменная $t$ изменяется на полуинтервале $[-\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4})$.

Рассмотрим поведение функции $\sin(t)$ на этом полуинтервале. Минимальное значение $\sin(t)$ на этом промежутке достигается в левой граничной точке $t = -\frac{\pi}{4}$:$y_{наим} = \sin(-\frac{\pi}{4}) + 0.5 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 0.5 = \frac{1-\sqrt{2}}{2}$.

Максимальное значение $\sin(t)$ на этом промежутке равно 1 и достигается в точке $t = \frac{\pi}{2}$. Эта точка принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4})$, так как $-\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4}$. Следовательно, наибольшее значение функции:$y_{наиб} = \sin(\frac{\pi}{2}) + 0.5 = 1 + 0.5 = 1.5$.

Ответ: наименьшее значение $\frac{1-\sqrt{2}}{2}$, наибольшее значение 1,5.

г) на промежутке $[\frac{\pi}{4}; +\infty)$

Найдем, в каких пределах изменяется переменная $t = x - \frac{\pi}{4}$, если $x \in [\frac{\pi}{4}; +\infty)$.

Если $x = \frac{\pi}{4}$, то $t = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 0$.

Если $x \to +\infty$, то $t \to +\infty$.

Таким образом, переменная $t$ изменяется на луче $[0; +\infty)$.

На луче $[0; +\infty)$ функция $\sin(t)$ принимает все значения из своей области значений, то есть от -1 до 1. Следовательно, функция $y = \sin(t) + 0.5$ также принимает все значения из своей полной области значений.

Наименьшее значение функции: $y_{наим} = -1 + 0.5 = -0.5$. Оно достигается, например, при $t=\frac{3\pi}{2}$, что соответствует $x = \frac{7\pi}{4}$, и эта точка принадлежит промежутку $[\frac{\pi}{4}; +\infty)$.

Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = 1 + 0.5 = 1.5$. Оно достигается, например, при $t=\frac{\pi}{2}$, что соответствует $x = \frac{3\pi}{4}$, и эта точка принадлежит промежутку $[\frac{\pi}{4}; +\infty)$.

Ответ: наименьшее значение -0,5, наибольшее значение 1,5.