Номер 10.1, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§10. Функция у = sinx, её свойства и график. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 10.1, страница 28.

Для функции $y=f(x)$, где $f(x)=\sin x$, найдите:

10.1 а) $f(\pi)$;

б) $f(-\frac{\pi}{2})$;

в) $f(\frac{2\pi}{3})$;

г) $f(-\frac{\pi}{3})$.

Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \sin x$. Чтобы найти значения функции в заданных точках, необходимо подставить эти точки в качестве аргумента $x$ в выражение для функции.

а) $f(\pi)$
Подставляем $x = \pi$ в функцию:
$f(\pi) = \sin(\pi)$.
Значение синуса угла в $\pi$ радиан (что соответствует 180°) равно 0.
$f(\pi) = 0$.
Ответ: 0.

б) $f(-\frac{\pi}{2})$
Подставляем $x = -\frac{\pi}{2}$ в функцию:
$f(-\frac{\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2})$.
Функция синуса является нечетной, то есть для любого $x$ выполняется равенство $\sin(-x) = -\sin(x)$.
Используя это свойство, получаем:
$\sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2})$.
Значение синуса угла в $\frac{\pi}{2}$ радиан (90°) равно 1.
Следовательно, $f(-\frac{\pi}{2}) = -1$.
Ответ: -1.

в) $f(\frac{2\pi}{3})$
Подставляем $x = \frac{2\pi}{3}$ в функцию:
$f(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\frac{2\pi}{3})$.
Для нахождения значения можно использовать формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$.
Представим $\frac{2\pi}{3}$ как $\pi - \frac{\pi}{3}$:
$\sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3})$.
Значение синуса угла в $\frac{\pi}{3}$ радиан (60°) является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$f(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

г) $f(-\frac{\pi}{3})$
Подставляем $x = -\frac{\pi}{3}$ в функцию:
$f(-\frac{\pi}{3}) = \sin(-\frac{\pi}{3})$.
Снова используем свойство нечетности функции синуса: $\sin(-x) = -\sin(x)$.
$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3})$.
Табличное значение $\sin(\frac{\pi}{3})$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, $f(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.