Номер 9.8, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 2. Тригонометрические функции. §9. Формулы приведения - номер 9.8, страница 27.

Условие.

Упростите выражение:

9.8 a) $sin(90^{\circ} - \alpha) + cos(180^{\circ} + \alpha) + tg(270^{\circ} + \alpha) + ctg(360^{\circ} + \alpha);$

б) $sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) - cos(\pi - t) + tg(\pi - t) + ctg\left(\frac{5\pi}{2} - t\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Для упрощения выражения $ \sin(90^\circ - \alpha) + \cos(180^\circ + \alpha) + \text{tg}(270^\circ + \alpha) + \text{ctg}(360^\circ + \alpha) $ воспользуемся формулами приведения, которые позволяют сводить тригонометрические функции произвольного угла к функциям острого угла.

Рассмотрим каждый член выражения по отдельности:

• $ \sin(90^\circ - \alpha) $: Так как в аргументе присутствует $90^\circ$, синус меняется на косинус. Угол $90^\circ - \alpha$ находится в I четверти (при малом $\alpha > 0$), где синус положителен. Поэтому, $ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha) $.
• $ \cos(180^\circ + \alpha) $: Так как в аргументе присутствует $180^\circ$, функция косинус не меняется. Угол $180^\circ + \alpha$ находится в III четверти, где косинус отрицателен. Поэтому, $ \cos(180^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha) $.
• $ \text{tg}(270^\circ + \alpha) $: Так как в аргументе присутствует $270^\circ$, тангенс меняется на котангенс. Угол $270^\circ + \alpha$ находится в IV четверти, где тангенс отрицателен. Поэтому, $ \text{tg}(270^\circ + \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $.
• $ \text{ctg}(360^\circ + \alpha) $: Функция котангенса периодична с периодом $180^\circ$ (и, следовательно, $360^\circ$). Поэтому, $ \text{ctg}(360^\circ + \alpha) = \text{ctg}(\alpha) $.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное:

$ \cos(\alpha) + (-\cos(\alpha)) + (-\text{ctg}(\alpha)) + \text{ctg}(\alpha) = \cos(\alpha) - \cos(\alpha) - \text{ctg}(\alpha) + \text{ctg}(\alpha) = 0 $.

Ответ: $0$.

б) Упростим выражение $ \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) - \cos(\pi - t) + \text{tg}(\pi - t) + \text{ctg}\left(\frac{5\pi}{2} - t\right) $, используя формулы приведения в радианах.

Рассмотрим каждый член выражения:

• $ \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) $: При наличии $ \frac{\pi}{2} $ синус меняется на косинус. Угол $ \frac{\pi}{2} + t $ находится во II четверти, где синус положителен. Следовательно, $ \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = \cos(t) $.
• $ \cos(\pi - t) $: При наличии $ \pi $ функция косинус не меняется. Угол $ \pi - t $ находится во II четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, $ \cos(\pi - t) = -\cos(t) $.
• $ \text{tg}(\pi - t) $: При наличии $ \pi $ функция тангенс не меняется. Угол $ \pi - t $ находится во II четверти, где тангенс отрицателен. Следовательно, $ \text{tg}(\pi - t) = -\text{tg}(t) $.
• $ \text{ctg}\left(\frac{5\pi}{2} - t\right) $: Сначала преобразуем угол. $ \frac{5\pi}{2} = \frac{4\pi + \pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} $. Так как $2\pi$ - это полный период, его можно отбросить: $ \text{ctg}\left(\frac{5\pi}{2} - t\right) = \text{ctg}\left(2\pi + \frac{\pi}{2} - t\right) = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - t\right) $. Теперь применим формулу приведения: при наличии $ \frac{\pi}{2} $ котангенс меняется на тангенс. Угол $ \frac{\pi}{2} - t $ находится в I четверти, где котангенс положителен. Таким образом, $ \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = \text{tg}(t) $.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$ \cos(t) - (-\cos(t)) + (-\text{tg}(t)) + \text{tg}(t) = \cos(t) + \cos(t) - \text{tg}(t) + \text{tg}(t) = 2\cos(t) $.

Ответ: $2\cos(t)$.