Номер 9.8, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов


Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
§9. Формулы приведения. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 9.8, страница 27.
№9.8 (с. 27)
Условие. №9.8 (с. 27)
скриншот условия

Упростите выражение:
9.8 a) $sin(90^{\circ} - \alpha) + cos(180^{\circ} + \alpha) + tg(270^{\circ} + \alpha) + ctg(360^{\circ} + \alpha);$
б) $sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) - cos(\pi - t) + tg(\pi - t) + ctg\left(\frac{5\pi}{2} - t\right).$
Решение 1. №9.8 (с. 27)

Решение 2. №9.8 (с. 27)

Решение 3. №9.8 (с. 27)

Решение 5. №9.8 (с. 27)

Решение 6. №9.8 (с. 27)
а) Для упрощения выражения $ \sin(90^\circ - \alpha) + \cos(180^\circ + \alpha) + \text{tg}(270^\circ + \alpha) + \text{ctg}(360^\circ + \alpha) $ воспользуемся формулами приведения, которые позволяют сводить тригонометрические функции произвольного угла к функциям острого угла.
Рассмотрим каждый член выражения по отдельности:
- $ \sin(90^\circ - \alpha) $: Так как в аргументе присутствует $90^\circ$, синус меняется на косинус. Угол $90^\circ - \alpha$ находится в I четверти (при малом $\alpha > 0$), где синус положителен. Поэтому, $ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha) $.
- $ \cos(180^\circ + \alpha) $: Так как в аргументе присутствует $180^\circ$, функция косинус не меняется. Угол $180^\circ + \alpha$ находится в III четверти, где косинус отрицателен. Поэтому, $ \cos(180^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha) $.
- $ \text{tg}(270^\circ + \alpha) $: Так как в аргументе присутствует $270^\circ$, тангенс меняется на котангенс. Угол $270^\circ + \alpha$ находится в IV четверти, где тангенс отрицателен. Поэтому, $ \text{tg}(270^\circ + \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $.
- $ \text{ctg}(360^\circ + \alpha) $: Функция котангенса периодична с периодом $180^\circ$ (и, следовательно, $360^\circ$). Поэтому, $ \text{ctg}(360^\circ + \alpha) = \text{ctg}(\alpha) $.
Теперь подставим упрощенные выражения в исходное:
$ \cos(\alpha) + (-\cos(\alpha)) + (-\text{ctg}(\alpha)) + \text{ctg}(\alpha) = \cos(\alpha) - \cos(\alpha) - \text{ctg}(\alpha) + \text{ctg}(\alpha) = 0 $.
Ответ: $0$.
б) Упростим выражение $ \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) - \cos(\pi - t) + \text{tg}(\pi - t) + \text{ctg}\left(\frac{5\pi}{2} - t\right) $, используя формулы приведения в радианах.
Рассмотрим каждый член выражения:
- $ \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) $: При наличии $ \frac{\pi}{2} $ синус меняется на косинус. Угол $ \frac{\pi}{2} + t $ находится во II четверти, где синус положителен. Следовательно, $ \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = \cos(t) $.
- $ \cos(\pi - t) $: При наличии $ \pi $ функция косинус не меняется. Угол $ \pi - t $ находится во II четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, $ \cos(\pi - t) = -\cos(t) $.
- $ \text{tg}(\pi - t) $: При наличии $ \pi $ функция тангенс не меняется. Угол $ \pi - t $ находится во II четверти, где тангенс отрицателен. Следовательно, $ \text{tg}(\pi - t) = -\text{tg}(t) $.
- $ \text{ctg}\left(\frac{5\pi}{2} - t\right) $: Сначала преобразуем угол. $ \frac{5\pi}{2} = \frac{4\pi + \pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} $. Так как $2\pi$ - это полный период, его можно отбросить: $ \text{ctg}\left(\frac{5\pi}{2} - t\right) = \text{ctg}\left(2\pi + \frac{\pi}{2} - t\right) = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - t\right) $. Теперь применим формулу приведения: при наличии $ \frac{\pi}{2} $ котангенс меняется на тангенс. Угол $ \frac{\pi}{2} - t $ находится в I четверти, где котангенс положителен. Таким образом, $ \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = \text{tg}(t) $.
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$ \cos(t) - (-\cos(t)) + (-\text{tg}(t)) + \text{tg}(t) = \cos(t) + \cos(t) - \text{tg}(t) + \text{tg}(t) = 2\cos(t) $.
Ответ: $2\cos(t)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 9.8 расположенного на странице 27 для 2-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9.8 (с. 27), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 2-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.