Номер 9.6, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§9. Формулы приведения. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 9.6, страница 27.

9.6 a) $ \cos\frac{5\pi}{3}; $

б) $ \sin\left(-\frac{11\pi}{6}\right); $

в) $ \sin\frac{7\pi}{6}; $

г) $ \cos\left(-\frac{7\pi}{3}\right). $

а) Чтобы найти значение $\cos{\frac{5\pi}{3}}$, можно представить угол в виде, удобном для использования формул приведения.
Представим угол $\frac{5\pi}{3}$ как разность с полным оборотом $2\pi$:
$\frac{5\pi}{3} = \frac{6\pi - \pi}{3} = \frac{6\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = 2\pi - \frac{\pi}{3}$.
Теперь воспользуемся формулой приведения для косинуса, которая гласит, что $\cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha)$. Это также следует из того, что угол $\frac{5\pi}{3}$ находится в IV четверти, где косинус положителен, и его опорный угол равен $\frac{\pi}{3}$.
$\cos{\frac{5\pi}{3}} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos{\frac{\pi}{3}}$.
Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{3}$ является табличным: $\cos{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Для вычисления $\sin(-\frac{11\pi}{6})$ можно использовать свойство нечетности функции синус: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.
$\sin(-\frac{11\pi}{6}) = -\sin(\frac{11\pi}{6})$.
Теперь упростим $\sin(\frac{11\pi}{6})$. Представим угол $\frac{11\pi}{6}$ как $2\pi - \frac{\pi}{6}$:
$\sin(\frac{11\pi}{6}) = \sin(2\pi - \frac{\pi}{6})$.
Используя формулу приведения $\sin(2\pi - \alpha) = -\sin(\alpha)$, получаем:
$\sin(2\pi - \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6})$.
Табличное значение $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $\sin(\frac{11\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.
Подставим это значение в исходное выражение: $\sin(-\frac{11\pi}{6}) = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
Альтернативный способ: можно использовать периодичность синуса. Прибавим к отрицательному углу полный оборот $2\pi$:
$\sin(-\frac{11\pi}{6}) = \sin(-\frac{11\pi}{6} + 2\pi) = \sin(-\frac{11\pi}{6} + \frac{12\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

в) Чтобы найти значение $\sin{\frac{7\pi}{6}}$, представим угол $\frac{7\pi}{6}$ в виде суммы с $\pi$:
$\frac{7\pi}{6} = \frac{6\pi + \pi}{6} = \frac{6\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$.
Применим формулу приведения для синуса: $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$. Угол $\frac{7\pi}{6}$ находится в III четверти, где синус отрицателен.
$\sin{\frac{7\pi}{6}} = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin{\frac{\pi}{6}}$.
Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\sin{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2}$.
Таким образом, $\sin{\frac{7\pi}{6}} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

г) Для нахождения значения $\cos(-\frac{7\pi}{3})$ сначала воспользуемся свойством четности функции косинус: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.
$\cos(-\frac{7\pi}{3}) = \cos(\frac{7\pi}{3})$.
Теперь преобразуем угол $\frac{7\pi}{3}$, выделив целое число полных оборотов ($2\pi$), так как косинус — периодическая функция с периодом $2\pi$.
$\frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = \frac{6\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$.
Используем свойство периодичности $\cos(2\pi + \alpha) = \cos(\alpha)$:
$\cos(\frac{7\pi}{3}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3})$.
Табличное значение $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$