Номер 9.13, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§9. Формулы приведения. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 9.13, страница 28.

9.13 a) $5 \sin \left(\frac{\pi}{2} + t\right) - \sin \left(\frac{3\pi}{2} + t\right) - 8 \cos (2\pi - t) = 1;$

б) $\sin (2\pi + t) - \cos \left(\frac{\pi}{2} - t\right) + \sin (\pi - t) = 1.$

а)

Дано уравнение:

$5 \sin(\frac{\pi}{2} + t) - \sin(\frac{3\pi}{2} + t) - 8 \cos(2\pi - t) = 1$

Для решения этого уравнения применим формулы приведения, чтобы упростить тригонометрические выражения в левой части:

• $\sin(\frac{\pi}{2} + t) = \cos(t)$ (угол $(\frac{\pi}{2} + t)$ находится во II четверти, где синус положителен; так как в формуле присутствует $\frac{\pi}{2}$, синус меняется на косинус).
• $\sin(\frac{3\pi}{2} + t) = -\cos(t)$ (угол $(\frac{3\pi}{2} + t)$ находится в IV четверти, где синус отрицателен; так как в формуле присутствует $\frac{3\pi}{2}$, синус меняется на косинус).
• $\cos(2\pi - t) = \cos(t)$ (угол $(2\pi - t)$ находится в IV четверти, где косинус положителен; так как в формуле присутствует $2\pi$, косинус не меняется).

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$5 \cos(t) - (-\cos(t)) - 8 \cos(t) = 1$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$5 \cos(t) + \cos(t) - 8 \cos(t) = 1$

$6 \cos(t) - 8 \cos(t) = 1$

$-2 \cos(t) = 1$

Выразим $\cos(t)$:

$\cos(t) = -\frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для него находится по формуле $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $a = -\frac{1}{2}$ и $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Значение арккосинуса: $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.

Следовательно, общее решение уравнения:

$t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z}$

б)

Дано уравнение:

$\sin(2\pi + t) - \cos(\frac{\pi}{2} - t) + \sin(\pi - t) = 1$

Упростим левую часть уравнения, используя периодичность тригонометрических функций и формулы приведения:

• $\sin(2\pi + t) = \sin(t)$ (в силу периодичности синуса с периодом $2\pi$).
• $\cos(\frac{\pi}{2} - t) = \sin(t)$ (угол $(\frac{\pi}{2} - t)$ находится в I четверти, где косинус положителен; так как в формуле присутствует $\frac{\pi}{2}$, косинус меняется на синус).
• $\sin(\pi - t) = \sin(t)$ (угол $(\pi - t)$ находится во II четверти, где синус положителен; так как в формуле присутствует $\pi$, синус не меняется).

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$\sin(t) - \sin(t) + \sin(t) = 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$\sin(t) = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение находится при значениях аргумента, равных $\frac{\pi}{2}$ плюс целое число полных оборотов.

Общее решение уравнения:

$t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z}$