Номер 10.6, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§10. Функция у = sinx, её свойства и график. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 10.6, страница 29.

10.6 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \sin x$:

a) на отрезке $[\frac{\pi}{4}, \frac{2\pi}{3}]$;

б) на луче $[\frac{\pi}{4}, +\infty)$;

в) на интервале $(-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{4})$;

г) на полуинтервале $(-\pi, \frac{\pi}{3}]$

а) на отрезке $[\frac{\pi}{4}, \frac{2\pi}{3}]$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции $y = \sin x$ на отрезке, необходимо найти её значения на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее.

1. Найдём значения функции на концах отрезка:

$y(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$y(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

2. Найдём критические точки. Производная функции $y' = (\sin x)' = \cos x$. Приравняем производную к нулю: $\cos x = 0$.

Решения этого уравнения имеют вид $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Проверим, какие из критических точек принадлежат отрезку $[\frac{\pi}{4}, \frac{2\pi}{3}]$.

Учитывая, что $\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{2\pi}{3}$ (что в градусах соответствует $45^\circ \le x \le 120^\circ$), в данный отрезок попадает только точка $x = \frac{\pi}{2}$ (при $n=0$).

4. Найдём значение функции в этой точке:

$y(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

5. Сравним полученные значения: $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$, $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$ и $1$.

Наименьшее из этих значений равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$, а наибольшее равно $1$.

Ответ: наименьшее значение $\frac{\sqrt{2}}{2}$, наибольшее значение $1$.

б) на луче $[\frac{\pi}{4}, +\infty)$

Функция $y = \sin x$ является периодической, её область значений — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любых $x$ выполняется неравенство $-1 \le \sin x \le 1$.

Следовательно, наименьшее значение, которое функция может принимать, равно $-1$, а наибольшее — $1$.

Необходимо проверить, достигаются ли эти значения на заданном луче $[\frac{\pi}{4}, +\infty)$.

1. Наибольшее значение $1$ достигается в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Например, при $n=0$ получаем $x = \frac{\pi}{2}$. Так как $\frac{\pi}{2} > \frac{\pi}{4}$, эта точка принадлежит лучу $[\frac{\pi}{4}, +\infty)$. Значит, наибольшее значение функции на этом луче равно $1$.

2. Наименьшее значение $-1$ достигается в точках $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Например, при $n=1$ получаем $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{3\pi}{2}$. Так как $\frac{3\pi}{2} > \frac{\pi}{4}$, эта точка принадлежит лучу $[\frac{\pi}{4}, +\infty)$. Значит, наименьшее значение функции на этом луче равно $-1$.

Ответ: наименьшее значение $-1$, наибольшее значение $1$.

в) на интервале $(-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{4})$

Данный интервал является открытым. Область значений функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Найдём точки, в которых функция достигает своих глобальных экстремумов (наибольшего и наименьшего значений), и проверим, принадлежат ли они заданному интервалу $(-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{4})$.

1. Наибольшее значение, равное $1$, функция $\sin x$ принимает в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

При $n=0$, получаем $x = \frac{\pi}{2}$. Проверим, принадлежит ли эта точка интервалу: $-\frac{3\pi}{2} < \frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4}$. Неравенство верно, так как $-1.5\pi < 0.5\pi < 0.75\pi$. Следовательно, наибольшее значение на интервале равно $1$.

2. Наименьшее значение, равное $-1$, функция $\sin x$ принимает в точках $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

При $n=0$, получаем $x = -\frac{\pi}{2}$. Проверим, принадлежит ли эта точка интервалу: $-\frac{3\pi}{2} < -\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4}$. Неравенство верно, так как $-1.5\pi < -0.5\pi < 0.75\pi$. Следовательно, наименьшее значение на интервале равно $-1$.

Поскольку глобальные максимум и минимум функции достигаются внутри заданного интервала, они и являются наибольшим и наименьшим значениями функции на этом интервале.

Ответ: наименьшее значение $-1$, наибольшее значение $1$.

г) на полуинтервале $(-\pi, -\frac{\pi}{3}]$

Рассмотрим поведение функции $y = \sin x$ на заданном полуинтервале. Этот интервал находится в третьей и четвёртой координатных четвертях.

1. Найдём значение функции на правом (включённом) конце полуинтервала:

$y(-\frac{\pi}{3}) = \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

2. Рассмотрим поведение функции вблизи левого (исключённого) конца. При $x \to -\pi^+$, значение $\sin x \to \sin(-\pi) = 0$. Так как точка $x=-\pi$ не включена в интервал, значение $0$ не достигается.

3. Найдём критические точки внутри интервала $(-\pi, -\frac{\pi}{3}]$. Критические точки функции $y=\sin x$ — это точки, где её производная $y' = \cos x$ равна нулю, то есть $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим, какие из этих точек попадают в интервал $(-\pi, -\frac{\pi}{3}]$. При $n=-1$, получаем $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$. Эта точка принадлежит интервалу, так как $-\pi < -\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{3}$. Других подходящих значений $n$ нет.

4. Найдём значение функции в этой критической точке:

$y(-\frac{\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$

5. Сравним полученные значения. На промежутке $(-\pi, -\frac{\pi}{2}]$ функция $\sin x$ убывает от $0$ до $-1$. На промежутке $[-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{3}]$ функция $\sin x$ возрастает от $-1$ до $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, наименьшее значение, которое функция принимает на заданном полуинтервале, равно $-1$ (в точке $x=-\frac{\pi}{2}$).

Наибольшее значение достигается на правом конце полуинтервала и равно $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: наименьшее значение $-1$, наибольшее значение $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.