Номер 10.3, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§10. Функция у = sinx, её свойства и график. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 10.3, страница 28.

10.3 Найдите значение функции:

a) $y = 2 \sin \left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1$ при $x = \frac{4\pi}{3}$;

б) $y = -\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ при $x = -\frac{\pi}{2}$;

в) $y = 2 \sin \left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1$ при $x = \frac{7\pi}{6}$;

г) $y = -\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ при $x = -\frac{15\pi}{4}$.

а) Чтобы найти значение функции $y = 2 \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1$ при $x = \frac{4\pi}{3}$, подставим значение $x$ в уравнение:

$y = 2 \sin\left(\frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{6}\right) + 1$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 6:

$\frac{4\pi}{3} = \frac{8\pi}{6}$

$y = 2 \sin\left(\frac{8\pi}{6} - \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 2 \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) + 1$

Найдем значение синуса. Угол $\frac{7\pi}{6}$ можно представить как $\pi + \frac{\pi}{6}$. Используя формулу приведения $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$, получаем:

$\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$

Подставим это значение обратно в уравнение:

$y = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = -1 + 1 = 0$

Ответ: 0

б) Чтобы найти значение функции $y = -\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ при $x = -\frac{\pi}{2}$, подставим значение $x$ в уравнение:

$y = -\sin\left(-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 4:

$y = -\sin\left(-\frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$

Так как синус — нечетная функция ($\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$), получаем:

$y = - \left(-\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$

Значение синуса для $\frac{\pi}{4}$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

в) Чтобы найти значение функции $y = 2 \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1$ при $x = \frac{7\pi}{6}$, подставим значение $x$ в уравнение:

$y = 2 \sin\left(\frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{6}\right) + 1$

Выполним вычитание в скобках:

$y = 2 \sin\left(\frac{6\pi}{6}\right) + 1 = 2 \sin(\pi) + 1$

Мы знаем, что $\sin(\pi) = 0$. Подставим это значение:

$y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$

Ответ: 1

г) Чтобы найти значение функции $y = -\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ при $x = -\frac{15\pi}{4}$, подставим значение $x$ в уравнение:

$y = -\sin\left(-\frac{15\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right)$

Выполним сложение в скобках:

$y = -\sin\left(-\frac{14\pi}{4}\right) = -\sin\left(-\frac{7\pi}{2}\right)$

Используем свойство нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$:

$y = - \left(-\sin\left(\frac{7\pi}{2}\right)\right) = \sin\left(\frac{7\pi}{2}\right)$

Чтобы найти значение синуса, воспользуемся периодичностью функции синус (период $2\pi = \frac{4\pi}{2}$).

$\sin\left(\frac{7\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{4\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + 2\pi\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)$

Значение $\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$.

$y = -1$

Ответ: -1