Номер 9.12, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 2. Тригонометрические функции. §9. Формулы приведения - номер 9.12, страница 28.

Условие.

Решите уравнение:

9.12 a) $2 \cos (2\pi + t) + \sin \left(\frac{\pi}{2} + t\right) = 3;$

б) $\sin (\pi + t) + 2 \cos \left(\frac{\pi}{2} + t\right) = 3;$

в) $2 \sin (\pi + t) + \cos \left(\frac{\pi}{2} - t\right) = -\frac{1}{2};$

г) $3 \sin \left(\frac{\pi}{2} + t\right) - \cos (2\pi + t) = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) $2 \cos(2\pi + t) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = 3$

Упростим уравнение, используя формулы приведения. Так как функция косинуса имеет период $2\pi$, то $\cos(2\pi + t) = \cos(t)$. По формуле приведения для синуса, $\sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = \cos(t)$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$2\cos(t) + \cos(t) = 3$

$3\cos(t) = 3$

Разделим обе части уравнения на 3:

$\cos(t) = 1$

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решениями являются значения $t$, при которых косинус равен 1.

$t = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin(\pi + t) + 2 \cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = 3$

Применим формулы приведения. Для угла $(\pi + t)$ синус меняет знак на противоположный, так как это третья четверть: $\sin(\pi + t) = -\sin(t)$. Для угла $\left(\frac{\pi}{2} + t\right)$ косинус меняется на синус и меняет знак на противоположный, так как это вторая четверть: $\cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = -\sin(t)$.

Подставим упрощенные выражения в уравнение:

$-\sin(t) + 2(-\sin(t)) = 3$

$-\sin(t) - 2\sin(t) = 3$

$-3\sin(t) = 3$

Разделим обе части на -3:

$\sin(t) = -1$

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решениями являются значения $t$, при которых синус равен -1.

$t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $2 \sin(\pi + t) + \cos\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = -\frac{1}{2}$

Используем формулы приведения. Как и в предыдущем пункте, $\sin(\pi + t) = -\sin(t)$. По формуле приведения для косинуса $\cos\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = \sin(t)$.

Подставляем в уравнение:

$2(-\sin(t)) + \sin(t) = -\frac{1}{2}$

$-2\sin(t) + \sin(t) = -\frac{1}{2}$

$-\sin(t) = -\frac{1}{2}$

Умножим обе части на -1:

$\sin(t) = \frac{1}{2}$

Общее решение этого уравнения записывается через арксинус:

$t = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$, то:

$t = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $3 \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) - \cos(2\pi + t) = 1$

Воспользуемся формулами приведения. По формуле $\sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = \cos(t)$. Функция косинуса периодична с периодом $2\pi$, поэтому $\cos(2\pi + t) = \cos(t)$.

Подставляем эти выражения в исходное уравнение:

$3\cos(t) - \cos(t) = 1$

$2\cos(t) = 1$

Разделим обе части на 2:

$\cos(t) = \frac{1}{2}$

Общее решение этого уравнения записывается через арккосинус:

$t = \pm\arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$, то:

$t = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.