Номер 9.12, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов


Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
§9. Формулы приведения. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 9.12, страница 28.
№9.12 (с. 28)
Условие. №9.12 (с. 28)
скриншот условия

Решите уравнение:
9.12 a) $2 \cos (2\pi + t) + \sin \left(\frac{\pi}{2} + t\right) = 3;$
б) $\sin (\pi + t) + 2 \cos \left(\frac{\pi}{2} + t\right) = 3;$
в) $2 \sin (\pi + t) + \cos \left(\frac{\pi}{2} - t\right) = -\frac{1}{2};$
г) $3 \sin \left(\frac{\pi}{2} + t\right) - \cos (2\pi + t) = 1.$
Решение 1. №9.12 (с. 28)

Решение 2. №9.12 (с. 28)


Решение 3. №9.12 (с. 28)

Решение 5. №9.12 (с. 28)



Решение 6. №9.12 (с. 28)
а) $2 \cos(2\pi + t) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = 3$
Упростим уравнение, используя формулы приведения. Так как функция косинуса имеет период $2\pi$, то $\cos(2\pi + t) = \cos(t)$. По формуле приведения для синуса, $\sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = \cos(t)$.
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$2\cos(t) + \cos(t) = 3$
$3\cos(t) = 3$
Разделим обе части уравнения на 3:
$\cos(t) = 1$
Это частный случай тригонометрического уравнения. Решениями являются значения $t$, при которых косинус равен 1.
$t = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $t = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
б) $\sin(\pi + t) + 2 \cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = 3$
Применим формулы приведения. Для угла $(\pi + t)$ синус меняет знак на противоположный, так как это третья четверть: $\sin(\pi + t) = -\sin(t)$. Для угла $\left(\frac{\pi}{2} + t\right)$ косинус меняется на синус и меняет знак на противоположный, так как это вторая четверть: $\cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = -\sin(t)$.
Подставим упрощенные выражения в уравнение:
$-\sin(t) + 2(-\sin(t)) = 3$
$-\sin(t) - 2\sin(t) = 3$
$-3\sin(t) = 3$
Разделим обе части на -3:
$\sin(t) = -1$
Это частный случай тригонометрического уравнения. Решениями являются значения $t$, при которых синус равен -1.
$t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
в) $2 \sin(\pi + t) + \cos\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = -\frac{1}{2}$
Используем формулы приведения. Как и в предыдущем пункте, $\sin(\pi + t) = -\sin(t)$. По формуле приведения для косинуса $\cos\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = \sin(t)$.
Подставляем в уравнение:
$2(-\sin(t)) + \sin(t) = -\frac{1}{2}$
$-2\sin(t) + \sin(t) = -\frac{1}{2}$
$-\sin(t) = -\frac{1}{2}$
Умножим обе части на -1:
$\sin(t) = \frac{1}{2}$
Общее решение этого уравнения записывается через арксинус:
$t = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$, то:
$t = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $t = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
г) $3 \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) - \cos(2\pi + t) = 1$
Воспользуемся формулами приведения. По формуле $\sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = \cos(t)$. Функция косинуса периодична с периодом $2\pi$, поэтому $\cos(2\pi + t) = \cos(t)$.
Подставляем эти выражения в исходное уравнение:
$3\cos(t) - \cos(t) = 1$
$2\cos(t) = 1$
Разделим обе части на 2:
$\cos(t) = \frac{1}{2}$
Общее решение этого уравнения записывается через арккосинус:
$t = \pm\arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$, то:
$t = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $t = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 9.12 расположенного на странице 28 для 2-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9.12 (с. 28), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 2-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.