Номер 9.9, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§9. Формулы приведения. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 9.9, страница 27.

9.9 a) $\frac{\cos (180^{\circ} + \alpha) \cos (-\alpha)}{\sin (-\alpha) \sin (90^{\circ} + \alpha)};$

б) $\frac{\sin (\pi - t) \cos (2\pi - t)}{\text{tg} (\pi - t) \cos (\pi - t)};$

в) $\frac{\sin (-\alpha) \text{ctg} (-\alpha)}{\cos (360^{\circ} - \alpha) \text{tg} (180^{\circ} + \alpha)};$

г) $\frac{\sin (\pi + t) \sin (2\pi + t)}{\text{tg} (\pi + t) \cos \left(\frac{3\pi}{2} + t\right)}.$

а) Упростим выражение $\frac{\cos(180^\circ + \alpha) \cos(-\alpha)}{\sin(-\alpha) \sin(90^\circ + \alpha)}$.
Для этого воспользуемся формулами приведения и свойствами четности тригонометрических функций:
1. $\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha)$, так как угол $180^\circ + \alpha$ находится в III четверти, где косинус отрицателен.
2. $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, так как косинус — четная функция.
3. $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, так как синус — нечетная функция.
4. $\sin(90^\circ + \alpha) = \cos(\alpha)$, так как угол $90^\circ + \alpha$ находится во II четверти, где синус положителен, а при прибавлении $90^\circ$ функция меняется на кофункцию.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{(-\cos(\alpha)) \cdot \cos(\alpha)}{(-\sin(\alpha)) \cdot \cos(\alpha)} = \frac{-\cos^2(\alpha)}{-\sin(\alpha)\cos(\alpha)}$
Сократим дробь на общий множитель $-\cos(\alpha)$:
$\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \cot(\alpha)$
Ответ: $\cot(\alpha)$

б) Упростим выражение $\frac{\sin(\pi - t) \cos(2\pi - t)}{\tg(\pi - t) \cos(\pi - t)}$.
Применим формулы приведения:
1. $\sin(\pi - t) = \sin(t)$, так как угол $\pi - t$ находится во II четверти, где синус положителен.
2. $\cos(2\pi - t) = \cos(t)$, так как угол $2\pi - t$ находится в IV четверти, где косинус положителен.
3. $\tg(\pi - t) = -\tg(t)$, так как угол $\pi - t$ находится во II четверти, где тангенс отрицателен.
4. $\cos(\pi - t) = -\cos(t)$, так как угол $\pi - t$ находится во II четверти, где косинус отрицателен.
Подставляем преобразованные выражения:
$\frac{\sin(t) \cdot \cos(t)}{(-\tg(t)) \cdot (-\cos(t))} = \frac{\sin(t)\cos(t)}{\tg(t)\cos(t)}$
Сократим дробь на $\cos(t)$:
$\frac{\sin(t)}{\tg(t)}$
Используя определение тангенса $\tg(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)}$, получаем:
$\frac{\sin(t)}{\frac{\sin(t)}{\cos(t)}} = \sin(t) \cdot \frac{\cos(t)}{\sin(t)} = \cos(t)$
Ответ: $\cos(t)$

в) Упростим выражение $\frac{\sin(-\alpha) \ctg(-\alpha)}{\cos(360^\circ - \alpha) \tg(180^\circ + \alpha)}$.
Применим формулы приведения и свойства четности/нечетности:
1. $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$ (нечетная функция).
2. $\ctg(-\alpha) = -\ctg(\alpha)$ (нечетная функция).
3. $\cos(360^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)$, так как угол $360^\circ - \alpha$ находится в IV четверти, где косинус положителен.
4. $\tg(180^\circ + \alpha) = \tg(\alpha)$, так как угол $180^\circ + \alpha$ находится в III четверти, где тангенс положителен.
Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{(-\sin(\alpha)) \cdot (-\ctg(\alpha))}{\cos(\alpha) \cdot \tg(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha)\ctg(\alpha)}{\cos(\alpha)\tg(\alpha)}$
Используем определения тангенса и котангенса: $\ctg(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$ и $\tg(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.
$\frac{\sin(\alpha) \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}}{\cos(\alpha) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}} = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \cot(\alpha)$
Ответ: $\cot(\alpha)$

г) Упростим выражение $\frac{\sin(\pi + t) \sin(2\pi + t)}{\tg(\pi + t) \cos(\frac{3\pi}{2} + t)}$.
Применим формулы приведения:
1. $\sin(\pi + t) = -\sin(t)$, так как угол $\pi + t$ находится в III четверти, где синус отрицателен.
2. $\sin(2\pi + t) = \sin(t)$, так как $2\pi$ — период функции синус.
3. $\tg(\pi + t) = \tg(t)$, так как $\pi$ — период функции тангенс.
4. $\cos(\frac{3\pi}{2} + t) = \sin(t)$, так как угол $\frac{3\pi}{2} + t$ находится в IV четверти, где косинус положителен, а при прибавлении $\frac{3\pi}{2}$ функция меняется на кофункцию.
Подставляем преобразованные выражения:
$\frac{(-\sin(t)) \cdot \sin(t)}{\tg(t) \cdot \sin(t)} = \frac{-\sin^2(t)}{\tg(t)\sin(t)}$
Сократим дробь на $\sin(t)$:
$\frac{-\sin(t)}{\tg(t)}$
Используя определение тангенса $\tg(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)}$, получаем:
$\frac{-\sin(t)}{\frac{\sin(t)}{\cos(t)}} = -\sin(t) \cdot \frac{\cos(t)}{\sin(t)} = -\cos(t)$
Ответ: $-\cos(t)$