Номер 9.3, страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§9. Формулы приведения. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 9.3, страница 26.

9.3 а) $\cos(90^\circ - \alpha);$

б) $\sin(360^\circ - \alpha);$

В) $\sin(270^\circ - \alpha);$

Г) $\cos(180^\circ - \alpha).$

Для решения данных задач используются формулы приведения. Общее правило для их применения состоит из двух шагов:

1. Определение знака исходной функции. Знак определяется по четверти, в которой находится угол, предполагая, что угол $\alpha$ является острым и положительным.
2. Определение названия итоговой функции. Если в формуле присутствуют углы $180^\circ$ или $360^\circ$ (или $\pi, 2\pi$), то название функции не меняется. Если же в формуле присутствуют углы $90^\circ$ или $270^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$), то название функции меняется на кофункцию (синус на косинус, косинус на синус и т.д.).

а) Упростим выражение $\cos(90^\circ - \alpha)$.

1. Определяем знак. Если считать $\alpha$ острым углом, то угол $90^\circ - \alpha$ находится в I координатной четверти. Косинус в I четверти положителен (имеет знак "+").

2. Определяем функцию. Так как в формуле присутствует угол $90^\circ$, функция $\cos$ меняется на кофункцию, то есть на $\sin$.

Таким образом, $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.
Это также можно проверить по формуле косинуса разности: $\cos(x - y) = \cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y)$.
$\cos(90^\circ - \alpha) = \cos(90^\circ)\cos(\alpha) + \sin(90^\circ)\sin(\alpha) = 0 \cdot \cos(\alpha) + 1 \cdot \sin(\alpha) = \sin(\alpha)$.

Ответ: $\sin(\alpha)$

б) Упростим выражение $\sin(360^\circ - \alpha)$.

1. Определяем знак. Угол $360^\circ - \alpha$ находится в IV координатной четверти. Синус в IV четверти отрицателен (имеет знак "−").

2. Определяем функцию. Так как в формуле присутствует угол $360^\circ$, функция $\sin$ не меняется.

Таким образом, $\sin(360^\circ - \alpha) = -\sin(\alpha)$.
Это также можно проверить по формуле синуса разности: $\sin(x - y) = \sin(x)\cos(y) - \cos(x)\sin(y)$.
$\sin(360^\circ - \alpha) = \sin(360^\circ)\cos(\alpha) - \cos(360^\circ)\sin(\alpha) = 0 \cdot \cos(\alpha) - 1 \cdot \sin(\alpha) = -\sin(\alpha)$.

Ответ: $-\sin(\alpha)$

в) Упростим выражение $\sin(270^\circ - \alpha)$.

1. Определяем знак. Угол $270^\circ - \alpha$ находится в III координатной четверти. Синус в III четверти отрицателен (имеет знак "−").

2. Определяем функцию. Так как в формуле присутствует угол $270^\circ$, функция $\sin$ меняется на кофункцию, то есть на $\cos$.

Таким образом, $\sin(270^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$.
Это также можно проверить по формуле синуса разности: $\sin(x - y) = \sin(x)\cos(y) - \cos(x)\sin(y)$.
$\sin(270^\circ - \alpha) = \sin(270^\circ)\cos(\alpha) - \cos(270^\circ)\sin(\alpha) = (-1) \cdot \cos(\alpha) - 0 \cdot \sin(\alpha) = -\cos(\alpha)$.

Ответ: $-\cos(\alpha)$

г) Упростим выражение $\cos(180^\circ - \alpha)$.

1. Определяем знак. Угол $180^\circ - \alpha$ находится во II координатной четверти. Косинус во II четверти отрицателен (имеет знак "−").

2. Определяем функцию. Так как в формуле присутствует угол $180^\circ$, функция $\cos$ не меняется.

Таким образом, $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$.
Это также можно проверить по формуле косинуса разности: $\cos(x - y) = \cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y)$.
$\cos(180^\circ - \alpha) = \cos(180^\circ)\cos(\alpha) + \sin(180^\circ)\sin(\alpha) = (-1) \cdot \cos(\alpha) + 0 \cdot \sin(\alpha) = -\cos(\alpha)$.

Ответ: $-\cos(\alpha)$